Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqtop 21694
 Description: Value of the quotient topology function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopval.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
elqtop ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))

Proof of Theorem elqtop
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qtopval.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21qtopval2 21693 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐽 qTop 𝐹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽})
32eleq2d 2817 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ 𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽}))
4 imaeq2 5612 . . . . 5 (𝑠 = 𝐴 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝐴))
54eleq1d 2816 . . . 4 (𝑠 = 𝐴 → ((𝐹𝑠) ∈ 𝐽 ↔ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
65elrab 3496 . . 3 (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽))
7 uniexg 7112 . . . . . . . . 9 (𝐽𝑉 𝐽 ∈ V)
81, 7syl5eqel 2835 . . . . . . . 8 (𝐽𝑉𝑋 ∈ V)
983ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10 simp3 1132 . . . . . . 7 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍𝑋)
119, 10ssexd 4949 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑍 ∈ V)
12 simp2 1131 . . . . . 6 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍onto𝑌)
13 fornex 7292 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐹:𝑍onto𝑌𝑌 ∈ V))
1411, 12, 13sylc 65 . . . . 5 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → 𝑌 ∈ V)
15 elpw2g 4968 . . . . 5 (𝑌 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑌𝐴𝑌))
1716anbi1d 743 . . 3 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
186, 17syl5bb 272 . 2 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ {𝑠 ∈ 𝒫 𝑌 ∣ (𝐹𝑠) ∈ 𝐽} ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
193, 18bitrd 268 1 ((𝐽𝑉𝐹:𝑍onto𝑌𝑍𝑋) → (𝐴 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝐴𝑌 ∧ (𝐹𝐴) ∈ 𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  {crab 3046  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707  𝒫 cpw 4294  ∪ cuni 4580  ◡ccnv 5257   “ cima 5261  –onto→wfo 6039  (class class class)co 6805   qTop cqtop 16357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-qtop 16361 This theorem is referenced by:  qtoptop2  21696  elqtop2  21698  elqtop3  21700
 Copyright terms: Public domain W3C validator