Theorem elqaalem3 24267

Description: Lemma for elqaa 24268. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem3

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqaa.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cnex 10201	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
4		elqaa.6	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
5		fvex 6354	. . . . . . . . 9 ⊢ (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ V)
8		fvexd 6356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ V)
9		fconstmpt 5312	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅)
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 𝑅))
11		elqaa.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
12	11	eldifad 3719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
13		plyf 24145	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
15	14	feqmptd 6403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
16	3, 7, 8, 10, 15	offval2 7071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))))
17		fzfid 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (0...(deg‘𝐹)) ∈ Fin)
18		nn0uz 11907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
19		0zd 11573	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
20		ssrab2 3820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
21		fveq2 6344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝑚))
22	21	oveq1d 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑛))
23	22	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ))
24	23	rabbidv 3321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
25	24	infeq1d 8540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
26		elqaa.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
27		ltso 10302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ < Or ℝ
28	27	infex 8556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
29	25, 26, 28	fvmpt 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
30	29	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
31		nnuz 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
32	20, 31	sseqtri 3770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
33		0z 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℤ
34		zq 11979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℚ
36		elqaa.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
37	36	coef2 24178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
38	12, 35, 37	sylancl 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
39	38	ffvelrnda 6514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℚ)
40		qmulz 11976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵‘𝑚) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
42		rabn0 4093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ)
43	41, 42	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
44		infssuzcl 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
45	32, 43, 44	sylancr 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
46	30, 45	eqeltrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ})
47	20, 46	sseldi 3734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
48		nnmulcl 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
49	48	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ)) → (𝑚 · 𝑘) ∈ ℕ)
50	18, 19, 47, 49	seqf 13008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → seq0( · , 𝑁):ℕ0⟶ℕ)
51		dgrcl 24180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
52	12, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
53	50, 52	ffvelrnd 6515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹)) ∈ ℕ)
54	4, 53	syl5eqel 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
55	54	nncnd 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
56	55	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ∈ ℂ)
57		elfznn0 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
58	36	coef3 24179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
59	12, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
60	59	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
61	60	ffvelrnda 6514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
62		expcl 13064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
63	62	adantll 752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑧↑𝑚) ∈ ℂ)
64	61, 63	mulcld 10244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
65	57, 64	sylan2 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)) ∈ ℂ)
66	17, 56, 65	fsummulc2 14707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
67		eqid 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (deg‘𝐹) = (deg‘𝐹)
68	36, 67	coeid2 24186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
69	12, 68	sylan 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚)))
70	69	oveq2d 6821	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = (𝑅 · Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
71	56	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
72	71, 61, 63	mulassd 10247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
73	57, 72	sylan2 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = (𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
74	73	sumeq2dv 14624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))(𝑅 · ((𝐵‘𝑚) · (𝑧↑𝑚))))
75	66, 70, 74	3eqtr4d 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) = Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚)))
76	75	mpteq2dva 4888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝑅 · (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
77	16, 76	eqtrd 2786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))))
78		zsscn 11569	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
80	55	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ ℂ)
81	47	nncnd 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℂ)
82	47	nnne0d 11249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝑚) ≠ 0)
83	80, 81, 82	divcan2d 10987	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = 𝑅)
84	83	oveq2d 6821	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
85	59	ffvelrnda 6514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝑚) ∈ ℂ)
86	80, 81, 82	divcld 10985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℂ)
87	85, 81, 86	mulassd 10247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) = ((𝐵‘𝑚) · ((𝑁‘𝑚) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚)))))
88	80, 85	mulcomd 10245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = ((𝐵‘𝑚) · 𝑅))
89	84, 87, 88	3eqtr4rd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
90	57, 89	sylan2 492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) = (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))))
91		oveq2 6813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) = ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)))
92	91	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝑚) → (((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
93	92	elrab 3496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
94	93	simprbi 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑚) · 𝑛) ∈ ℤ} → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
95	46, 94	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
96	57, 95	sylan2 492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
97		elqaa.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
98		eqid 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚))) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ((𝑥 · 𝑦) mod (𝑁‘𝑚)))
99	1, 11, 97, 36, 26, 4, 98	elqaalem2 24266	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0)
100	54	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → 𝑅 ∈ ℕ)
101	57, 47	sylan2 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ)
102		nnre 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ → 𝑅 ∈ ℝ)
103		nnrp 12027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁‘𝑚) ∈ ℕ → (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+)
104		mod0 12861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℝ+) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
105	102, 103, 104	syl2an 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ (𝑁‘𝑚) ∈ ℕ) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
106	100, 101, 105	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → ((𝑅 mod (𝑁‘𝑚)) = 0 ↔ (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ))
107	99, 106	mpbid 222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 / (𝑁‘𝑚)) ∈ ℤ)
108	96, 107	zmulcld 11672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (((𝐵‘𝑚) · (𝑁‘𝑚)) · (𝑅 / (𝑁‘𝑚))) ∈ ℤ)
109	90, 108	eqeltrd 2831	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))) → (𝑅 · (𝐵‘𝑚)) ∈ ℤ)
110	79, 52, 109	elplyd 24149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑚 ∈ (0...(deg‘𝐹))((𝑅 · (𝐵‘𝑚)) · (𝑧↑𝑚))) ∈ (Poly‘ℤ))
111	77, 110	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ))
112		eldifsn 4454	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}) ↔ (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
113	11, 112	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝐹 ≠ 0𝑝))
114	113	simprd 482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
115		oveq1 6812	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})))
116	14	ffvelrnda 6514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
117	54	nnne0d 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0)
118	117	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 𝑅 ≠ 0)
119	116, 56, 118	divcan3d 10990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅) = (𝐹‘𝑧))
120	119	mpteq2dva 4888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹‘𝑧)))
121		ovexd 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑅 · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
122	3, 121, 7, 16, 10	offval2 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((𝑅 · (𝐹‘𝑧)) / 𝑅)))
123	120, 122, 15	3eqtr4d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 𝐹)
124	55, 117	div0d 10984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 / 𝑅) = 0)
125	124	mpteq2dv 4889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
126		0cnd 10217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → 0 ∈ ℂ)
127		df-0p 23628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
128		fconstmpt 5312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
129	127, 128	eqtri 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0)
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ 0))
131	3, 126, 7, 130, 10	offval2 7071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (0 / 𝑅)))
132	125, 131, 130	3eqtr4d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0𝑝 ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = 0𝑝)
133	123, 132	eqeq12d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) = (0𝑝 ∘𝑓 / (ℂ × {𝑅})) ↔ 𝐹 = 0𝑝))
134	115, 133	syl5ib 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) = 0𝑝 → 𝐹 = 0𝑝))
135	134	necon3d 2945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
136	114, 135	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝)
137		eldifsn 4454	. . . 4 ⊢ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ (Poly‘ℤ) ∧ ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ≠ 0𝑝))
138	111, 136, 137	sylanbrc 701	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
139	6	fconst 6244	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅}
140		ffn 6198	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂ × {𝑅}):ℂ⟶{𝑅} → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
141	139, 140	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝑅}) Fn ℂ)
142		ffn 6198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℂ⟶ℂ → 𝐹 Fn ℂ)
143	14, 142	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
144		inidm 3957	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
145	6	fvconst2 6625	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
146	145	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((ℂ × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
147	97	adantr 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝐴) = 0)
148	141, 143, 3, 3, 144, 146, 147	ofval 7063	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
149	1, 148	mpdan 705	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = (𝑅 · 0))
150	55	mul01d 10419	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · 0) = 0)
151	149, 150	eqtrd 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0)
152		fveq1 6343	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → (𝑓‘𝐴) = (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴))
153	152	eqeq1d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑓 = ((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) → ((𝑓‘𝐴) = 0 ↔ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0))
154	153	rspcev 3441	. . 3 ⊢ ((((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}) ∧ (((ℂ × {𝑅}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝐴) = 0) → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
155	138, 151, 154	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0)
156		elaa 24262	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ∃𝑓 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝})(𝑓‘𝐴) = 0))
157	1, 155, 156	sylanbrc 701	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∃wrex 3043  {crab 3046  Vcvv 3332   ∖ cdif 3704   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  {csn 4313   ↦ cmpt 4873   × cxp 5256   Fn wfn 6036  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807   ∘_𝑓 cof 7052  infcinf 8504  ℂcc 10118  ℝcr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125   < clt 10258   / cdiv 10868  ℕcn 11204  ℕ₀cn0 11476  ℤcz 11561  ℤ_≥cuz 11871  ℚcq 11973  ℝ⁺crp 12017  ...cfz 12511   mod cmo 12854  seqcseq 12987  ↑cexp 13046  Σcsu 14607  0_𝑝c0p 23627  Polycply 24131  coeffccoe 24133  degcdgr 24134  𝔸caa 24260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-0p 23628  df-ply 24135  df-coe 24137  df-dgr 24138  df-aa 24261

This theorem is referenced by:  elqaa  24268