Theorem elprchashprn2 13222

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4332	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 13197	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6229	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2657	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑁}) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2653	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((#‘{𝑁}) = 1 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 500	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 2890	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 450	. . . 4 ⊢ ((#‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4285	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2662	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 500	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 13196	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
19		fveq2 6229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘∅))
20	19	eqcomd 2657	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘∅) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2653	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((#‘∅) = 0 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2828	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 695	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 449	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 207	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 176	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  ‘cfv 5926  0cc0 9974  1c1 9975  2c2 11108  #chash 13157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158

This theorem is referenced by:  hashprb  13223