Theorem elpm2r 7917

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
2	1	feq2d 6069	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝐶⟶𝐴))
3	1	sseq1d 3665	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (dom 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
6	5	ibir 257	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
7		elpm2g 7916	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
8	6, 7	syl5ibr 236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵)))
9	8	imp 444	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690   ↑_pm cpm 7900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-pm 7902

This theorem is referenced by:  fpmg  7925  pmresg  7927  rlim  14270  ello12  14291  elo12  14302  sscpwex  16522  catcfuccl  16806  catcxpccl  16894  lmbrf  21112  cnextfval  21913  lmmbrf  23106  iscauf  23124  caucfil  23127  cmetcaulem  23132  lmclimf  23148  ismbf  23442  ismbfcn  23443  mbfconst  23447  cncombf  23470  cnmbf  23471  limcfval  23681  dvfval  23706  dvnff  23731  dvn2bss  23738  dvnfre  23760  taylfvallem1  24156  taylfval  24158  tayl0  24161  taylplem1  24162  taylply2  24167  taylply  24168  dvtaylp  24169  dvntaylp  24170  dvntaylp0  24171  taylthlem1  24172  taylthlem2  24173  ulmval  24179  ulmpm  24182  iscgrgd  25453  esumcvg  30276  mrsubfval  31531  elmrsubrn  31543  msubfval  31547  fwddifval  32394  fwddifnval  32395  fpmd  39797  xlimmnfvlem2  40377  xlimpnfvlem2  40381  dvnmptdivc  40471  dvnxpaek  40475  etransclem46  40815  issmflem  41257  fdivpm  42662  refdivpm  42663  elbigo2  42671