MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2g 8043
Description: The predicate "is a partial function." (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))

Proof of Theorem elpm2g
StepHypRef Expression
1 elpmg 8042 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
2 funssxp 6223 . 2 ((Fun 𝐹𝐹 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
31, 2syl6bb 276 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140  wss 3716   × cxp 5265  dom cdm 5267  Fun wfun 6044  wf 6046  (class class class)co 6815  pm cpm 8027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-pm 8029
This theorem is referenced by:  elpm2r  8044  elpmi  8045  elpm2  8058  lmcnp  21331  cmetcaulem  23307  mbfres  23631  dvbsss  23886  perfdvf  23887  dvnff  23906  dvnf  23910  dvnbss  23911  dvnadd  23912  cpnord  23918  mptelpm  39875  dvnprodlem3  40685  etransclem2  40975
  Copyright terms: Public domain W3C validator