MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elplyd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elplyd 24177
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
elplyd.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
elplyd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
elplyd.3 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
Assertion
Ref Expression
elplyd (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑘,𝑁   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem elplyd
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 6361 . . . . . . 7 𝑘((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗)
2 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘 ·
3 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘(𝑧𝑗)
41, 2, 3nfov 6840 . . . . . 6 𝑘(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))
5 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑗(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
6 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) = ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘))
7 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑧𝑗) = (𝑧𝑘))
86, 7oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)))
94, 5, 8cbvsumi 14646 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘))
10 elfznn0 12646 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
1110adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 iftrue 4236 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
1312adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) = 𝐴)
14 elplyd.3 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴𝑆)
1513, 14eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆)
16 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1716fvmpt2 6454 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1811, 15, 17syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))
1918, 13eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) = 𝐴)
2019oveq1d 6829 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = (𝐴 · (𝑧𝑘)))
2120sumeq2dv 14652 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
229, 21syl5eq 2806 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘)))
2322mpteq2dv 4897 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))))
24 elplyd.1 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
25 0cnd 10245 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2625snssd 4485 . . . . 5 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2724, 26unssd 3932 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
28 elplyd.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
29 elun1 3923 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3014, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3130adantlr 753 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
32 ssun2 3920 . . . . . . . 8 {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0})
33 c0ex 10246 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
3433snss 4460 . . . . . . . 8 (0 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ {0} ⊆ (𝑆 ∪ {0}))
3532, 34mpbir 221 . . . . . . 7 0 ∈ (𝑆 ∪ {0})
3635a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 0 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3731, 36ifclda 4264 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3837, 16fmptd 6549 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
39 elplyr 24176 . . . 4 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0)):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})) → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4027, 28, 38, 39syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)(((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑘 ∈ (0...𝑁), 𝐴, 0))‘𝑗) · (𝑧𝑗))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
4123, 40eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘(𝑆 ∪ {0})))
42 plyun0 24172 . 2 (Poly‘(𝑆 ∪ {0})) = (Poly‘𝑆)
4341, 42syl6eleq 2849 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(𝐴 · (𝑧𝑘))) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153  0cn0 11504  ...cfz 12539  cexp 13074  Σcsu 14635  Polycply 24159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016  df-sum 14636  df-ply 24163
This theorem is referenced by:  ply1term  24179  plyaddlem  24190  plymullem  24191  plycj  24252  dvply2g  24259  elqaalem3  24295  aareccl  24300  taylply2  24341  basellem2  25028  aacllem  43078
  Copyright terms: Public domain W3C validator