Theorem elpi1 23045

Description: The elements of the fundamental group. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpi1.g	⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
elpi1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
elpi1.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
elpi1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
elpi1	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝑋   𝐵,𝑓   𝑓,𝐽   𝜑,𝑓   𝑓,𝑌

Proof of Theorem elpi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpi1.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝐽 π1 𝑌)
2		elpi1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		elpi1.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑋)
4		elpi1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐺))
6	1, 2, 3, 5	pi1bas2 23041	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)))
7	6	eleq2d 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ 𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽))))
8		elex 3352	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) → 𝐹 ∈ V)
9		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
10		fvex 6362	. . . . . . 7 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) ∈ V
11		ecexg 7915	. . . . . . 7 ⊢ (( ≃ph‘𝐽) ∈ V → [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ∈ V
13	9, 12	syl6eqel 2847	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
14	13	rexlimivw 3167	. . . 4 ⊢ (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) → 𝐹 ∈ V)
15		elqsg 7965	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))
16	8, 14, 15	pm5.21nii 367	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))
17	1, 2, 3, 5	pi1eluni 23042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
18		3anass 1081	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)))
19	17, 18	syl6bb 276	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌))))
20	19	anbi1d 743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ ((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
21		anass 684	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌)) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
22	20, 21	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ∪ 𝐵 ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)) ↔ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽)))))
23	22	rexbidv2 3186	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 ∈ ∪ 𝐵𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
24	16, 23	syl5bb 272	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (∪ 𝐵 / ( ≃ph‘𝐽)) ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))
25	7, 24	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)(((𝑓‘0) = 𝑌 ∧ (𝑓‘1) = 𝑌) ∧ 𝐹 = [𝑓]( ≃ph‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051  Vcvv 3340  ∪ cuni 4588  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  [cec 7909   / cqs 7910  0cc0 10128  1c1 10129  Basecbs 16059  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230  IIcii 22879   ≃_phcphtpc 22969   π₁ cpi1 23003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-mulf 10208

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-qus 16371  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-ii 22881  df-htpy 22970  df-phtpy 22971  df-phtpc 22992  df-om1 23006  df-pi1 23008

This theorem is referenced by:  elpi1i  23046  sconnpi1  31528