Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddri 35591
Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddri (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1244 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆𝐴)
2 simp2l 1242 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝑋)
3 simp2r 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝑌)
4 simp3r 1245 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
5 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑄 𝑟))
65breq2d 4816 . . . 4 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑟)))
7 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 𝑟) = (𝑄 𝑅))
87breq2d 4816 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
96, 8rspc2ev 3463 . . 3 ((𝑄𝑋𝑅𝑌𝑆 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
102, 3, 4, 9syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
11 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝑄𝑋𝑋 ≠ ∅)
12 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝑅𝑌𝑌 ≠ ∅)
1311, 12anim12i 591 . . . . 5 ((𝑄𝑋𝑅𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
1413anim2i 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15143adant3 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
17 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
18 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
2016, 17, 18, 19elpaddn0 35589 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
2115, 20syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
221, 10, 21mpbir2and 995 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247  df-ats 35057  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  elpaddatriN  35592  paddasslem8  35616  paddasslem12  35620  paddasslem13  35621  pmodlem1  35635  osumcllem5N  35749  pexmidlem2N  35760
  Copyright terms: Public domain W3C validator