Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddri Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Condition implying membership in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddri (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem elpaddri
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3l 1244 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆𝐴)
2 simp2l 1242 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑄𝑋)
3 simp2r 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑅𝑌)
4 simp3r 1245 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
5 oveq1 6820 . . . . 5 (𝑞 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑄 𝑟))
65breq2d 4816 . . . 4 (𝑞 = 𝑄 → (𝑆 (𝑞 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑟)))
7 oveq2 6821 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (𝑄 𝑟) = (𝑄 𝑅))
87breq2d 4816 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (𝑆 (𝑄 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
96, 8rspc2ev 3463 . . 3 ((𝑄𝑋𝑅𝑌𝑆 (𝑄 𝑅)) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
102, 3, 4, 9syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))
11 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝑄𝑋𝑋 ≠ ∅)
12 ne0i 4064 . . . . . 6 (𝑅𝑌𝑌 ≠ ∅)
1311, 12anim12i 591 . . . . 5 ((𝑄𝑋𝑅𝑌) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
1413anim2i 594 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌)) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
15143adant3 1127 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)))
16 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
17 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
18 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
19 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
2016, 17, 18, 19elpaddn0 35589 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
2115, 20syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆 (𝑞 𝑟))))
221, 10, 21mpbir2and 995 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑄𝑋𝑅𝑌) ∧ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))) → 𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247  df-ats 35057  df-padd 35585 This theorem is referenced by:  elpaddatriN  35592  paddasslem8  35616  paddasslem12  35620  paddasslem13  35621  pmodlem1  35635  osumcllem5N  35749  pexmidlem2N  35760
 Copyright terms: Public domain W3C validator