Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpaddat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpaddat 35593
Description: Membership in a projective subspace sum with a point. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpaddat (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐾,𝑝   𝑋,𝑝   ,𝑝   ,𝑝   𝑆,𝑝   𝑄,𝑝
Allowed substitution hint:   + (𝑝)

Proof of Theorem elpaddat
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpl2 1230 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋𝐴)
3 simpl3 1232 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑄𝐴)
43snssd 4485 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
5 simpr 479 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
6 snnzg 4451 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → {𝑄} ≠ ∅)
8 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
9 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
10 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
128, 9, 10, 11elpaddn0 35589 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ {𝑄} ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
131, 2, 4, 5, 7, 12syl32anc 1485 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟))))
14 oveq2 6821 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝 𝑟) = (𝑝 𝑄))
1514breq2d 4816 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1615rexsng 4363 . . . . 5 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
173, 16syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1817rexbidv 3190 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟) ↔ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄)))
1918anbi2d 742 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑝 𝑟)) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
2013, 19bitrd 268 1 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑆 ∈ (𝑋 + {𝑄}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑝𝑋 𝑆 (𝑝 𝑄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247  df-ats 35057  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  elpaddatiN  35594  elpadd2at  35595  pclfinclN  35739
  Copyright terms: Public domain W3C validator