Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd2at 35595
Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd2at ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem elpadd2at
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simp2 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑄𝐴)
32snssd 4485 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ⊆ 𝐴)
4 simp3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → 𝑅𝐴)
5 snnzg 4451 . . . 4 (𝑄𝐴 → {𝑄} ≠ ∅)
653ad2ant2 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → {𝑄} ≠ ∅)
7 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
117, 8, 9, 10elpaddat 35593 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ {𝑄} ⊆ 𝐴𝑅𝐴) ∧ {𝑄} ≠ ∅) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
121, 3, 4, 6, 11syl31anc 1480 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅))))
13 oveq1 6820 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑄 → (𝑟 𝑅) = (𝑄 𝑅))
1413breq2d 4816 . . . . 5 (𝑟 = 𝑄 → (𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1514rexsng 4363 . . . 4 (𝑄𝐴 → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
16153ad2ant2 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
1716anbi2d 742 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ {𝑄}𝑆 (𝑟 𝑅)) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
1812, 17bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Latclat 17246  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-lub 17175  df-join 17177  df-lat 17247  df-ats 35057  df-padd 35585
This theorem is referenced by:  elpadd2at2  35596
  Copyright terms: Public domain W3C validator