Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd0 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Member of projective subspace sum with at least one empty set. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd0 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))

Proof of Theorem elpadd0
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neanior 3024 . . . 4 ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ ¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
21bicomi 214 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) ↔ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
32con1bii 345 . 2 (¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ↔ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅))
4 eqid 2760 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5 eqid 2760 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
6 padd0.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 padd0.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
84, 5, 6, 7elpadd 35588 . . 3 ((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))))
9 rex0 4081 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
10 rexeq 3278 . . . . . . . 8 (𝑋 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞 ∈ ∅ ∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
119, 10mtbiri 316 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
12 rex0 4081 . . . . . . . . . 10 ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑞𝑋 → ¬ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1413nrex 3138 . . . . . . . 8 ¬ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)
15 rexeq 3278 . . . . . . . . 9 (𝑌 = ∅ → (∃𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1615rexbidv 3190 . . . . . . . 8 (𝑌 = ∅ → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟 ∈ ∅ 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
1714, 16mtbiri 316 . . . . . . 7 (𝑌 = ∅ → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1811, 17jaoi 393 . . . . . 6 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))
1918intnand 1000 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)))
20 biorf 419 . . . . 5 (¬ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
2119, 20syl 17 . . . 4 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ↔ ((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌))))
22 orcom 401 . . . 4 (((𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)) ∨ (𝑆𝑋𝑆𝑌)) ↔ ((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))))
2321, 22syl6rbb 277 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅) → (((𝑆𝑋𝑆𝑌) ∨ (𝑆𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑆(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟))) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
248, 23sylan9bb 738 . 2 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 = ∅ ∨ 𝑌 = ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
253, 24sylan2b 493 1 (((𝐾𝐵𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ ¬ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑆 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑆𝑋𝑆𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  lecple 16150  joincjn 17145  Atomscatm 35053  +𝑃cpadd 35584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-padd 35585 This theorem is referenced by:  paddval0  35599
 Copyright terms: Public domain W3C validator