MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolmr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elovolmr 23290
Description: Sufficient condition for elementhood in the set 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolval.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
ovolval.2 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
elovolmr ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolmr
StepHypRef Expression
1 reex 10065 . . . . . 6 ℝ ∈ V
21, 1xpex 7004 . . . . 5 (ℝ × ℝ) ∈ V
32inex2 4833 . . . 4 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4 nnex 11064 . . . 4 ℕ ∈ V
53, 4elmap 7928 . . 3 (𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6 ovolval.2 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
7 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐹𝑓 = 𝐹)
87eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝐹𝐹 = 𝑓)
98coeq2d 5317 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝐹 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
109seqeq3d 12849 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
116, 10syl5eq 2697 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
1211rneqd 5385 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑆 = ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
1312supeq1d 8393 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
1413biantrud 527 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
15 coeq2 5313 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 → ((,) ∘ 𝑓) = ((,) ∘ 𝐹))
1615rneqd 5385 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝐹 → ran ((,) ∘ 𝑓) = ran ((,) ∘ 𝐹))
1716unieqd 4478 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 ran ((,) ∘ 𝑓) = ran ((,) ∘ 𝐹))
1817sseq2d 3666 . . . . 5 (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)))
1914, 18bitr3d 270 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)))
2019rspcev 3340 . . 3 ((𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
215, 20sylanbr 489 . 2 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
22 ovolval.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
2322elovolm 23289 . 2 (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
2421, 23sylibr 224 1 ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  {crab 2945  cin 3606  wss 3607   cuni 4468   × cxp 5141  ran crn 5144  ccom 5147  wf 5922  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  (,)cioo 12213  seqcseq 12841  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  ovollb  23293  ovolshftlem1  23323
  Copyright terms: Public domain W3C validator