MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elovolm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elovolm 23463
Description: Elementhood in the set 𝑀 of approximations to the outer measure. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
elovolm.1 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
elovolm (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑦   𝑦,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolm
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2775 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ↔ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
21anbi2d 614 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
32rexbidv 3200 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
4 elovolm.1 . . 3 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
53, 4elrab2 3518 . 2 (𝐵𝑀 ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
6 elovolmlem 23462 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
7 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)
8 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
97, 8ovolsf 23460 . . . . . . . . . 10 (𝑓:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
106, 9sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞))
11 icossxr 12463 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ ℝ*
12 fss 6197 . . . . . . . . 9 ((seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ*) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
1310, 11, 12sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ*)
14 frn 6190 . . . . . . . 8 (seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)):ℕ⟶ℝ* → ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ*)
15 supxrcl 12350 . . . . . . . 8 (ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)) ⊆ ℝ* → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → (𝐵 ∈ ℝ* ↔ sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) ∈ ℝ*))
1816, 17syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) → (𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ) → 𝐵 ∈ ℝ*))
1918imp 393 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2019adantrl 695 . . . 4 ((𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2120rexlimiva 3176 . . 3 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2221pm4.71ri 550 . 2 (∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
235, 22bitr4i 267 1 (𝐵𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝐵 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  {crab 3065  cin 3722  wss 3723   cuni 4575   × cxp 5248  ran crn 5251  ccom 5254  wf 6026  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  supcsup 8506  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cn 11226  (,)cioo 12380  [,)cico 12382  seqcseq 13008  abscabs 14182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184
This theorem is referenced by:  elovolmr  23464  ovolmge0  23465  ovolicc2  23510
  Copyright terms: Public domain W3C validator