Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elorrvc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elorrvc 30859
Description: Elementhood of a preimage for a real-valued random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
elorrvc ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝑅   𝑧,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑃(𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem elorrvc
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 orrvccel.2 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
31, 2rrvdm 30842 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑋 = dom 𝑃)
43eleq2d 2835 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ dom 𝑋𝑧 dom 𝑃))
54biimprd 238 . . 3 (𝜑 → (𝑧 dom 𝑃𝑧 ∈ dom 𝑋))
65imdistani 550 . 2 ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝜑𝑧 ∈ dom 𝑋))
71, 2rrvfn 30841 . . . 4 (𝜑𝑋 Fn dom 𝑃)
8 fnfun 6128 . . . 4 (𝑋 Fn dom 𝑃 → Fun 𝑋)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun 𝑋)
10 orrvccel.4 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
119, 2, 10elorvc 30855 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ dom 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
126, 11syl 17 1 ((𝜑𝑧 dom 𝑃) → (𝑧 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ↔ (𝑋𝑧)𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2144   cuni 4572   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  Fun wfun 6025   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6792  Probcprb 30803  rRndVarcrrv 30836  RV/𝑐corvc 30851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383  df-topgen 16311  df-top 20918  df-bases 20970  df-esum 30424  df-siga 30505  df-sigagen 30536  df-brsiga 30579  df-meas 30593  df-mbfm 30647  df-prob 30804  df-rrv 30837  df-orvc 30852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator