Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elno Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elno 32136
Description: Membership in the surreals. (Shortened proof on 2012-Apr-14, SF). (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
elno (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elno
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . 2 (𝐴 No 𝐴 ∈ V)
2 fex 6633 . . . 4 ((𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝐴 ∈ V)
32ancoms 455 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → 𝐴 ∈ V)
43rexlimiva 3176 . 2 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → 𝐴 ∈ V)
5 feq1 6166 . . . 4 (𝑓 = 𝐴 → (𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
65rexbidv 3200 . . 3 (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
7 df-no 32133 . . 3 No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}}
86, 7elab2g 3504 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
91, 4, 8pm5.21nii 367 1 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351  {cpr 4318  Oncon0 5866  wf 6027  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   No csur 32130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-no 32133
This theorem is referenced by:  nofun  32139  nodmon  32140  norn  32141  elno2  32144  noreson  32150
  Copyright terms: Public domain W3C validator