MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnz 11425
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))

Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 11065 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 orc 399 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
3 nngt0 11087 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
41, 2, 3jca31 556 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
5 idd 24 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ))
6 lt0neg2 10573 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 ↔ -𝑁 < 0))
7 renegcl 10382 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℝ → -𝑁 ∈ ℝ)
8 0re 10078 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
9 ltnsym 10173 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
107, 8, 9sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 < 0 → ¬ 0 < -𝑁))
116, 10sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ¬ 0 < -𝑁))
1211imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 0 < -𝑁)
13 nngt0 11087 . . . . . . . . . 10 (-𝑁 ∈ ℕ → 0 < -𝑁)
1412, 13nsyl 135 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ -𝑁 ∈ ℕ)
15 gt0ne0 10531 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
1615neneqd 2828 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ 𝑁 = 0)
17 ioran 510 . . . . . . . . 9 (¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (¬ -𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑁 = 0))
1814, 16, 17sylanbrc 699 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ¬ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
1918pm2.21d 118 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ))
205, 19jaod 394 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ))
2120ex 449 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℝ → (0 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → 𝑁 ∈ ℕ)))
2221com23 86 . . . 4 (𝑁 ∈ ℝ → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (0 < 𝑁𝑁 ∈ ℕ)))
2322imp31 447 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
244, 23impbii 199 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
25 elz 11417 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
26 3orrot 1061 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
27 3orass 1057 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2826, 27bitri 264 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)))
2928anbi2i 730 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3025, 29bitri 264 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))))
3130anbi1i 731 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ (-𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))) ∧ 0 < 𝑁))
3224, 31bitr4i 267 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  -cneg 10305  cn 11058  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416
This theorem is referenced by:  elnn0z  11428  nnssz  11435  elnnz1  11441  znnsub  11461  nn0ge0div  11484  msqznn  11497  lbfzo0  12547  elfzo0z  12549  fzofzim  12554  fzo1fzo0n0  12558  elfzodifsumelfzo  12573  elfznelfzo  12613  nnesq  13028  swrdlsw  13498  2swrd1eqwrdeq  13500  swrdccatin12lem3  13536  repswswrd  13577  cshwcsh2id  13620  swrd2lsw  13741  2swrd2eqwrdeq  13742  nnabscl  14109  iseralt  14459  sqrt2irrlem  15021  sqrt2irrlemOLD  15022  p1modz1  15034  nndivdvds  15036  oddge22np1  15120  evennn2n  15122  nno  15145  nnoddm1d2  15149  ndvdsadd  15181  bitsfzolem  15203  sqgcd  15325  qredeu  15419  prmind2  15445  qgt0numnn  15506  oddprm  15562  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem11  15577  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem19  15585  pc2dvds  15630  pcadd  15640  prmreclem3  15669  4sqlem11  15706  4sqlem12  15707  prmgaplem7  15808  cshwshashlem2  15850  subgmulg  17655  znidomb  19958  sgmnncl  24918  muinv  24964  mersenne  24997  bposlem6  25059  gausslemma2dlem1a  25135  lgseisenlem1  25145  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2sqlem8  25196  dchrisum0flblem2  25243  clwlkclwwlklem2a2  26959  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  eucrct2eupth1  27222  nn0prpwlem  32442  poimirlem7  33546  poimirlem29  33568  mblfinlem2  33577  irrapxlem4  37706  rmspecnonsq  37789  rmynn  37840  jm2.24  37847  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  rmydioph  37898  jm3.1lem3  37903  sumnnodd  40180  dvnxpaek  40475  dirkertrigeqlem3  40635  fourierdlem47  40688  fouriersw  40766  etransclem15  40784  etransclem24  40793  etransclem25  40794  etransclem35  40804  etransclem48  40817  zm1nn  41641  iccpartigtl  41684  nnoALTV  41931  ztprmneprm  42450  blennngt2o2  42711
  Copyright terms: Public domain W3C validator