MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnuz 11938
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 11937 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21eleq2i 2832 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2140  cfv 6050  1c1 10150  cn 11233  cuz 11900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-z 11591  df-uz 11901
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11944  uznnssnn  11949  uzsubsubfz1  12578  elfz1end  12585  fznn  12622  prednn  12677  fzo1fzo0n0  12734  elfzonlteqm1  12759  nnsinds  13002  faclbnd  13292  bcn1  13315  fz1isolem  13458  relexpsucnnr  13985  geoisum1  14830  geoisum1c  14831  fprodfac  14923  rpnnen2lem5  15167  rpnnen2lem12  15174  dvdsfac  15271  prmind2  15621  prmunb  15841  prmop1  15965  fvprmselelfz  15971  prmgaplem7  15984  structfn  16097  setsstruct  16121  gexcl3  18223  cayhamlem1  20894  1stckgenlem  21579  radcnvlem2  24388  dvradcnv  24395  logfac  24568  logtayllem  24626  logtayl  24627  leibpi  24890  prmorcht  25125  pclogsum  25161  bpos1  25229  2lgslem1a  25337  2sqlem10  25374  axlowdimlem13  26055  axlowdim1  26060  clwwlkccatlem  27134  clwwlknonclwlknonf1o  27544  opsqrlem5  29334  iuninc  29708  esumfsupre  30464  esumcvg  30479  ballotlemfp1  30884  ballotlemfc0  30885  ballotlemfcc  30886  ballotlem4  30891  ballotlemic  30899  ballotlem1c  30900  cvmliftlem10  31605  climuzcnv  31894  bcprod  31953  faclim  31961  poimirlem13  33754  poimirlem14  33755  poimirlem30  33771  mblfinlem2  33779  seqpo  33875  incsequz  33876  incsequz2  33877  elnnrabdioph  37892  expdiophlem1  38109  fmuldfeq  40337  fmul01lt1  40340  stoweidlem3  40742  stoweidlem26  40765  stoweidlem42  40781  stoweidlem48  40787  wallispilem3  40806  wallispilem4  40807  wallispi  40809  wallispi2lem1  40810  wallispi2lem2  40811  wallispi2  40812  stirlinglem7  40819  stirlinglem10  40822  stirlinglem12  40824  iccpartgtl  41891  fmtno4prmfac  42013  altgsumbcALT  42660
  Copyright terms: Public domain W3C validator