MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnne0 11518
Description: The positive integer property expressed in terms of difference from zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
elnnne0 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))

Proof of Theorem elnnne0
StepHypRef Expression
1 dfn2 11517 . . 3 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
21eleq2i 2831 . 2 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}))
3 eldifsn 4462 . 2 (𝑁 ∈ (ℕ0 ∖ {0}) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
42, 3bitri 264 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  {csn 4321  0cc0 10148  cn 11232  0cn0 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505
This theorem is referenced by:  nn0n0n1ge2  11570  nn0nndivcl  11574  fzo1fzo0n0  12733  elfznelfzo  12787  hashnn0n0nn  13392  ccat1st1st  13622  swrdccatin1  13703  cshwsublen  13762  cshwidxmod  13769  cshwidx0  13772  repswcshw  13778  cshw1  13788  odhash3  18211  0ringnnzr  19491  cply1mul  19886  fvmptnn04if  20876  chfacfisf  20881  chfacfisfcpmat  20882  tayl0  24335  dvtaylp  24343  wlkonl1iedg  26792  pthdlem2  26895  crctcsh  26948  clwwlkneq0  27177  hashecclwwlkn1  27229  umgrhashecclwwlk  27230  clwwlknon0  27261  frgrreg  27583  frgrregord013  27584  2sqmod  29978  plymulx0  30954  plymulx  30955  signstfvn  30976  signstfveq0a  30983  poimirlem13  33753  poimirlem20  33760  dvnmul  40679  dvnprodlem3  40684  wallispilem3  40805  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  etransclem28  41000  etransclem35  41007  etransclem38  41010  etransclem44  41016  2ffzoeq  41866  lswn0  41908  ztprmneprm  42653
  Copyright terms: Public domain W3C validator