MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn0z 11428
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 11332 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnz 11425 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3 eqcom 2658 . . 3 (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
42, 3orbi12i 542 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11426 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 eleq1 2718 . . . . . . 7 (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
86, 7mpbii 223 . . . . . 6 (0 = 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
95, 8jaoi 393 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 orc 399 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
119, 10impbii 199 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
1211anbi1i 731 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13 ordir 927 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 zre 11419 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 leloe 10162 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1714, 15, 16sylancr 696 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1817pm5.32i 670 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1912, 13, 183bitr4i 292 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
201, 4, 193bitri 286 1 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416
This theorem is referenced by:  nn0zrab  11444  znn0sub  11462  nn0ind  11510  fnn0ind  11514  fznn0  12470  elfz0ubfz0  12482  elfz0fzfz0  12483  fz0fzelfz0  12484  elfzmlbp  12489  difelfzle  12491  difelfznle  12492  elfzo0z  12549  fzofzim  12554  ubmelm1fzo  12604  flge0nn0  12661  zmodcl  12730  modmuladdnn0  12754  modsumfzodifsn  12783  zsqcl2  12981  swrdswrdlem  13505  swrdswrd  13506  swrdccatin2  13533  swrdccatin12lem2  13535  swrdccatin12lem3  13536  repswswrd  13577  cshwidxmod  13595  nn0abscl  14096  iseralt  14459  binomrisefac  14817  oexpneg  15116  oddnn02np1  15119  evennn02n  15121  nn0ehalf  15142  nn0oddm1d2  15148  divalglem2  15165  divalglem8  15170  divalglem10  15172  divalgb  15174  bitsinv1lem  15210  dfgcd2  15310  algcvga  15339  hashgcdlem  15540  iserodd  15587  pockthlem  15656  4sqlem14  15709  cshwshashlem2  15850  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  taylfvallem1  24156  tayl0  24161  leibpilem1  24712  basellem3  24854  bcmono  25047  gausslemma2dlem0h  25133  crctcshwlkn0lem7  26764  crctcshwlkn0  26769  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2fv2  26962  clwlkclwwlklem2a  26964  wwlksubclwwlk  27023  knoppndvlem2  32629  irrapxlem1  37703  rmynn0  37841  rmyabs  37842  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  dvnprodlem1  40479  wallispilem4  40603  stirlinglem5  40613  elaa2lem  40768  etransclem3  40772  etransclem7  40776  etransclem10  40779  etransclem19  40788  etransclem20  40789  etransclem21  40790  etransclem22  40791  etransclem24  40793  etransclem27  40796  zm1nn  41641  eluzge0nn0  41647  elfz2z  41650  2elfz2melfz  41653  subsubelfzo0  41661  pfxccatin12lem2  41749  oexpnegALTV  41913  nn0oALTV  41932  nn0e  41933  nn0eo  42647  dig1  42727
  Copyright terms: Public domain W3C validator