Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elmbfmvol2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmbfmvol2 30457
Description: Measurable functions with respect to the Lebesgue measure. We only have the inclusion, since MblFn includes complex-valued functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
elmbfmvol2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem elmbfmvol2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retopbas 22611 . . . . . 6 ran (,) ∈ TopBases
2 bastg 20818 . . . . . 6 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
4 retop 22612 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5 sssigagen 30336 . . . . . 6 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
73, 6sstri 3645 . . . 4 ran (,) ⊆ (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
8 df-brsiga 30373 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
97, 8sseqtr4i 3671 . . 3 ran (,) ⊆ 𝔅
10 eqid 2651 . . . . 5 vol = vol
11 dmvlsiga 30320 . . . . . . 7 dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
12 elrnsiga 30317 . . . . . . 7 (dom vol ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
1311, 12mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → dom vol ∈ ran sigAlgebra)
14 brsigarn 30375 . . . . . . 7 𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ)
15 elrnsiga 30317 . . . . . . 7 (𝔅 ∈ (sigAlgebra‘ℝ) → 𝔅 ran sigAlgebra)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (vol = vol → 𝔅 ran sigAlgebra)
1713, 16ismbfm 30442 . . . . 5 (vol = vol → (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)))
1810, 17ax-mp 5 . . . 4 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol))
1918simprbi 479 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol)
20 ssralv 3699 . . 3 (ran (,) ⊆ 𝔅 → (∀𝑥 ∈ 𝔅 (𝐹𝑥) ∈ dom vol → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
219, 19, 20mpsyl 68 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol)
2218simplbi 475 . . 3 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol))
23 elmapi 7921 . . . 4 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
24 unibrsiga 30377 . . . . 5 𝔅 = ℝ
25 unidmvol 23355 . . . . 5 dom vol = ℝ
2624, 25oveq12i 6702 . . . 4 ( 𝔅𝑚 dom vol) = (ℝ ↑𝑚 ℝ)
2723, 26eleq2s 2748 . . 3 (𝐹 ∈ ( 𝔅𝑚 dom vol) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
28 ismbf 23442 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
2922, 27, 283syl 18 . 2 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑥 ∈ ran (,)(𝐹𝑥) ∈ dom vol))
3021, 29mpbird 247 1 (𝐹 ∈ (dom volMblFnM𝔅) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   cuni 4468  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cr 9973  (,)cioo 12213  topGenctg 16145  Topctop 20746  TopBasesctb 20797  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  sigAlgebracsiga 30298  sigaGencsigagen 30329  𝔅cbrsiga 30372  MblFnMcmbfm 30440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-topgen 16151  df-xmet 19787  df-met 19788  df-top 20747  df-bases 20798  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-brsiga 30373  df-mbfm 30441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator