MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapssres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapssres 8050
Description: A restricted mapping is a mapping. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
elmapssres ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷))

Proof of Theorem elmapssres
StepHypRef Expression
1 elmapi 8047 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴:𝐶𝐵)
2 fssres 6231 . . 3 ((𝐴:𝐶𝐵𝐷𝐶) → (𝐴𝐷):𝐷𝐵)
31, 2sylan 489 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷):𝐷𝐵)
4 elmapex 8046 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
54simpld 477 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐵 ∈ V)
65adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → 𝐵 ∈ V)
74simprd 482 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐶 ∈ V)
8 ssexg 4956 . . . . 5 ((𝐷𝐶𝐶 ∈ V) → 𝐷 ∈ V)
98ancoms 468 . . . 4 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐷𝐶) → 𝐷 ∈ V)
107, 9sylan 489 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → 𝐷 ∈ V)
116, 10elmapd 8039 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → ((𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷) ↔ (𝐴𝐷):𝐷𝐵))
123, 11mpbird 247 1 ((𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) ∧ 𝐷𝐶) → (𝐴𝐷) ∈ (𝐵𝑚 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  cres 5268  wf 6045  (class class class)co 6814  𝑚 cmap 8025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-map 8027
This theorem is referenced by:  nn0gsumfz  18600  mdetmul  20651  mapfzcons1cl  37801  mzpcompact2lem  37834  diophin  37856  eldiophss  37858  eldioph4b  37895  mccllem  40350  iccpartres  41882  lincresunit3lem2  42797
  Copyright terms: Public domain W3C validator