MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapex 8042
Description: Eliminate antecedent for mapping theorems: domain can be taken to be a set. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapex (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))

Proof of Theorem elmapex
StepHypRef Expression
1 n0i 4061 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → ¬ (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
2 fnmap 8028 . . . 4 𝑚 Fn (V × V)
3 fndm 6149 . . . 4 ( ↑𝑚 Fn (V × V) → dom ↑𝑚 = (V × V))
42, 3ax-mp 5 . . 3 dom ↑𝑚 = (V × V)
54ndmov 6981 . 2 (¬ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐶) = ∅)
61, 5nsyl2 142 1 (𝐴 ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1630  wcel 2137  Vcvv 3338  c0 4056   × cxp 5262  dom cdm 5264   Fn wfn 6042  (class class class)co 6811  𝑚 cmap 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-map 8023
This theorem is referenced by:  elmapi  8043  elmapssres  8046  mapsspm  8055  mapss  8064  ralxpmap  8071  mapdom1  8288  wemapwe  8765  isf34lem6  9392  mndvcl  20397  mndvass  20398  mndvlid  20399  mndvrid  20400  grpvlinv  20401  grpvrinv  20402  mhmvlin  20403  tposmap  20463  mapfzcons  37779  elmapresaun  37834  ovnhoilem2  41320
  Copyright terms: Public domain W3C validator