Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellspd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellspd 20364
 Description: The elements of the span of an indexed collection of basic vectors are those vectors which can be written as finite linear combinations of basic vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellspd.n 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
ellspd.v 𝐵 = (Base‘𝑀)
ellspd.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
ellspd.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
ellspd.z 0 = (0g𝑆)
ellspd.t · = ( ·𝑠𝑀)
ellspd.f (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
ellspd.m (𝜑𝑀 ∈ LMod)
ellspd.i (𝜑𝐼 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
ellspd (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝑁   𝑓,𝐾   𝑆,𝑓   0 ,𝑓   · ,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝜑,𝑓

Proof of Theorem ellspd
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellspd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
2 ffn 6207 . . . . . 6 (𝐹:𝐼𝐵𝐹 Fn 𝐼)
3 fnima 6172 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝐼 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
41, 2, 33syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐼) = ran 𝐹)
54fveq2d 6358 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = (𝑁‘ran 𝐹))
6 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
76rnmpt 5527 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}
8 eqid 2761 . . . . . 6 (𝑆 freeLMod 𝐼) = (𝑆 freeLMod 𝐼)
9 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))
10 ellspd.v . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
11 ellspd.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑀)
12 ellspd.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ LMod)
13 ellspd.i . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
14 ellspd.s . . . . . . 7 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑆 = (Scalar‘𝑀))
16 ellspd.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑀)
178, 9, 10, 11, 6, 12, 13, 15, 1, 16frlmup3 20362 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) ↦ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))) = (𝑁‘ran 𝐹))
187, 17syl5eqr 2809 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} = (𝑁‘ran 𝐹))
195, 18eqtr4d 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐹𝐼)) = {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))})
2019eleq2d 2826 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ 𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))}))
21 ovex 6843 . . . . . 6 (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V
22 eleq1 2828 . . . . . 6 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → (𝑋 ∈ V ↔ (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ∈ V))
2321, 22mpbiri 248 . . . . 5 (𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
2423rexlimivw 3168 . . . 4 (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) → 𝑋 ∈ V)
25 eqeq1 2765 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ 𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2625rexbidv 3191 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
2724, 26elab3 3499 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))
28 fvex 6364 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑀) ∈ V
2914, 28eqeltri 2836 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
30 ellspd.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑆)
31 ellspd.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
32 eqid 2761 . . . . . . . 8 {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }
338, 30, 31, 32frlmbas 20322 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3429, 13, 33sylancr 698 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 } = (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)))
3534eqcomd 2767 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼)) = {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 })
3635rexeqdv 3285 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
37 breq1 4808 . . . . 5 (𝑎 = 𝑓 → (𝑎 finSupp 0𝑓 finSupp 0 ))
3837rexrab 3512 . . . 4 (∃𝑓 ∈ {𝑎 ∈ (𝐾𝑚 𝐼) ∣ 𝑎 finSupp 0 }𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))))
3936, 38syl6bb 276 . . 3 (𝜑 → (∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
4027, 39syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑎 ∣ ∃𝑓 ∈ (Base‘(𝑆 freeLMod 𝐼))𝑎 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹))} ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
4120, 40bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐹𝐼)) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐾𝑚 𝐼)(𝑓 finSupp 0𝑋 = (𝑀 Σg (𝑓𝑓 · 𝐹)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  {cab 2747  ∃wrex 3052  {crab 3055  Vcvv 3341   class class class wbr 4805   ↦ cmpt 4882  ran crn 5268   “ cima 5270   Fn wfn 6045  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ∘𝑓 cof 7062   ↑𝑚 cmap 8026   finSupp cfsupp 8443  Basecbs 16080  Scalarcsca 16167   ·𝑠 cvsca 16168  0gc0g 16323   Σg cgsu 16324  LModclmod 19086  LSpanclspn 19194   freeLMod cfrlm 20313 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-submnd 17558  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-lmhm 19245  df-lbs 19298  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-nzr 19481  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-uvc 20345 This theorem is referenced by:  elfilspd  20365  islindf4  20400
 Copyright terms: Public domain W3C validator