Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ellogdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellogdm 24505
 Description: Elementhood in the "continuous domain" of the complex logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
ellogdm (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))

Proof of Theorem ellogdm
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
21eleq2i 2795 . 2 (𝐴𝐷𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3 eldif 3690 . 2 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)))
4 mnfxr 10209 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
5 0re 10153 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
6 elioc2 12350 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0)))
74, 5, 6mp2an 710 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0))
8 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
9 mnflt 12071 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109pm4.71i 667 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴))
1110anbi1i 733 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0))
12 lenlt 10229 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
135, 12mpan2 709 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 𝐴))
14 elrp 11948 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
1514baib 982 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 0 < 𝐴))
1615notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ 0 < 𝐴))
1713, 16bitr4d 271 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1817pm5.32i 672 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
1911, 18bitr3i 266 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -∞ < 𝐴) ∧ 𝐴 ≤ 0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
207, 8, 193bitri 286 . . . . 5 (𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2120notbii 309 . . . 4 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
22 iman 439 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+) ↔ ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
2321, 22bitr4i 267 . . 3 𝐴 ∈ (-∞(,]0) ↔ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
2423anbi2i 732 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 ∈ (-∞(,]0)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
252, 3, 243bitri 286 1 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ∖ cdif 3677   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049  -∞cmnf 10185  ℝ*cxr 10186   < clt 10187   ≤ cle 10188  ℝ+crp 11946  (,]cioc 12290 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-rp 11947  df-ioc 12294 This theorem is referenced by:  logdmn0  24506  logdmnrp  24507  logdmss  24508  logcnlem2  24509  logcnlem3  24510  logcnlem4  24511  logcnlem5  24512  logcn  24513  dvloglem  24514  logf1o2  24516  cxpcn  24606  cxpcn2  24607  dmlogdmgm  24870  rpdmgm  24871  lgamgulmlem2  24876  lgamcvg2  24901  logdivsqrle  30958  binomcxplemdvbinom  38971
 Copyright terms: Public domain W3C validator