MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ello12r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ello12r 14456
Description: Sufficient condition for elementhood in the set of eventually upper bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ello12r (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀

Proof of Theorem ello12r
Dummy variables 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4789 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦𝑥𝐶𝑥))
21imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐶 → ((𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
32ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
4 breq2 4790 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑚 ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
54imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)))
65ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)))
73, 6rspc2ev 3474 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
873expa 1111 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
983adant1 1124 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚))
10 ello12 14455 . . 3 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
11103ad2ant1 1127 . 2 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → (𝐹 ∈ ≤𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑚)))
129, 11mpbird 247 1 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝑥 → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)) → 𝐹 ∈ ≤𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4786  wf 6027  cfv 6031  cr 10137  cle 10277  ≤𝑂(1)clo1 14426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ico 12386  df-lo1 14430
This theorem is referenced by:  lo1resb  14503
  Copyright terms: Public domain W3C validator