Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimits Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimits 32354
Description: Membership in the class of all limit ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
ellimits.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ellimits (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)

Proof of Theorem ellimits
StepHypRef Expression
1 df-limits 32304 . . 3 Limits = ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅})
21eleq2i 2842 . 2 (𝐴 Limits 𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}))
3 eldif 3733 . 2 (𝐴 ∈ ((On ∩ Fix Bigcup ) ∖ {∅}) ↔ (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}))
4 3anan32 1082 . . 3 ((Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
5 df-lim 5871 . . 3 (Lim 𝐴 ↔ (Ord 𝐴𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 = 𝐴))
6 elin 3947 . . . . 5 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ))
7 ellimits.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V
87elon 5875 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)
97elfix 32347 . . . . . . 7 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 Bigcup 𝐴)
107brbigcup 32342 . . . . . . 7 (𝐴 Bigcup 𝐴 𝐴 = 𝐴)
11 eqcom 2778 . . . . . . 7 ( 𝐴 = 𝐴𝐴 = 𝐴)
129, 10, 113bitri 286 . . . . . 6 (𝐴 Fix Bigcup 𝐴 = 𝐴)
138, 12anbi12i 612 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
146, 13bitri 264 . . . 4 (𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ↔ (Ord 𝐴𝐴 = 𝐴))
157elsn 4331 . . . . 5 (𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 = ∅)
1615necon3bbii 2990 . . . 4 𝐴 ∈ {∅} ↔ 𝐴 ≠ ∅)
1714, 16anbi12i 612 . . 3 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ ((Ord 𝐴𝐴 = 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅))
184, 5, 173bitr4ri 293 . 2 ((𝐴 ∈ (On ∩ Fix Bigcup ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ {∅}) ↔ Lim 𝐴)
192, 3, 183bitri 286 1 (𝐴 Limits ↔ Lim 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  c0 4063  {csn 4316   cuni 4574   class class class wbr 4786  Ord word 5865  Oncon0 5866  Lim wlim 5867   Bigcup cbigcup 32278   Fix cfix 32279   Limits climits 32280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-symdif 3993  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fo 6037  df-fv 6039  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-txp 32298  df-bigcup 32302  df-fix 32303  df-limits 32304
This theorem is referenced by:  dfom5b  32356  dfrdg4  32395
  Copyright terms: Public domain W3C validator