Theorem ellimciota 40364

Description: An explicit value for the limit, when the limit exists at a limit point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ellimciota.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
ellimciota.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
ellimciota.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
ellimciota.4	⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
ellimciota.k	⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
ellimciota	⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem ellimciota

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2838	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
2	1	cbviotav 6000	. 2 ⊢ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
3		iotaex 6011	. . . 4 ⊢ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V
4		ellimciota.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅)
5		n0 4078	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 limℂ 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
6	4, 5	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
7		ellimciota.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
8		ellimciota.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
9		ellimciota.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐾)‘𝐴))
10		ellimciota.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
11	7, 8, 9, 10	limcmo 23866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
12		eu5 2644	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
13	6, 11, 12	sylanbrc 572	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
14		eleq1 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
15	14	iota2 6020	. . . 4 ⊢ (((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ V ∧ ∃!𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
16	3, 13, 15	sylancr 575	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) = (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))))
17	2, 16	mpbiri 248	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑦𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
18	2, 17	syl5eqel 2854	1 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2618  ∃*wmo 2619   ≠ wne 2943  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  ℩cio 5992  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  TopOpenctopn 16290  ℂ_fldccnfld 19961  limPtclp 21159   lim_ℂ climc 23846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-limc 23850

This theorem is referenced by:  fourierdlem94  40934  fourierdlem113  40953