Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellimcabssub0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellimcabssub0 40367
 Description: An equivalent condition for being a limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ellimcabssub0.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
ellimcabssub0.g 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
ellimcabssub0.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
ellimcabssub0.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.p (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
ellimcabssub0.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ellimcabssub0 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem ellimcabssub0
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ellimcabssub0.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 0cnd 10235 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
31, 22thd 255 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 0 ∈ ℂ))
4 ellimcabssub0.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
51adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
7 ellimcabssub0.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝐶))
86, 7fmptd 6527 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℂ)
98ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
109subid1d 10583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐺𝑧) − 0) = (𝐺𝑧))
11 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
12 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
13 csbov1g 6835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
16 sban 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴))
17 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥𝜑
1817sbf 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝜑𝜑)
19 clelsb3 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴𝑧𝐴)
2018, 19anbi12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (([𝑧 / 𝑥]𝜑 ∧ [𝑧 / 𝑥]𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
2116, 20bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴))
224nfth 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2322sbf 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ))
24 sbim 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ([𝑧 / 𝑥]((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2523, 24sylbb1 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ([𝑧 / 𝑥](𝜑𝑥𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
2621, 25syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ))
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧𝐴) → [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
28 sbsbc 3591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ [𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ)
29 sbcel1g 4131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ V → ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
3012, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3128, 30bitri 264 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑧 / 𝑥]𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
3227, 31sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
331adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3432, 33subcld 10594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶) ∈ ℂ)
3515, 34eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ)
367fvmpts 6427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
3711, 35, 36syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐺𝑧) = 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶))
38 ellimcabssub0.f . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
3938fvmpts 6427 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧𝐴𝑧 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4011, 32, 39syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4140oveq1d 6808 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = (𝑧 / 𝑥𝐵𝐶))
4241, 14syl6reqr 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑥(𝐵𝐶) = ((𝐹𝑧) − 𝐶))
4310, 37, 423eqtrrd 2810 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝐹𝑧) − 𝐶) = ((𝐺𝑧) − 0))
4443fveq2d 6336 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) = (abs‘((𝐺𝑧) − 0)))
4544breq1d 4796 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))
4645imbi2d 329 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4746ralbidva 3134 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4847rexbidv 3200 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
4948ralbidv 3135 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦)))
503, 49anbi12d 616 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦)) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
514, 38fmptd 6527 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
52 ellimcabssub0.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
53 ellimcabssub0.p . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5451, 52, 53ellimc3 23863 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑦))))
558, 52, 53ellimc3 23863 . 2 (𝜑 → (0 ∈ (𝐺 lim 𝐷) ↔ (0 ∈ ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧𝐷 ∧ (abs‘(𝑧𝐷)) < 𝑤) → (abs‘((𝐺𝑧) − 0)) < 𝑦))))
5650, 54, 553bitr4d 300 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐷) ↔ 0 ∈ (𝐺 lim 𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  [wsb 2049   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3351  [wsbc 3587  ⦋csb 3682   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4786   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138   < clt 10276   − cmin 10468  ℝ+crp 12035  abscabs 14182   limℂ climc 23846 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-rest 16291  df-topn 16292  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cnp 21253  df-xms 22345  df-ms 22346  df-limc 23850 This theorem is referenced by:  reclimc  40403
 Copyright terms: Public domain W3C validator