Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ellcoellss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ellcoellss 42549
Description: Every linear combination of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
ellcoellss ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉

Proof of Theorem ellcoellss
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
3 eqid 2651 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑀) = (LSubSp‘𝑀)
42, 3lssss 18985 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
543ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
6 sstr 3644 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀))
7 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑀) ∈ V
87ssex 4835 . . . . . . . . 9 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ V)
9 elpwg 4199 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑀)))
109biimprd 238 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
118, 10mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑉 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
126, 11syl 17 . . . . . . 7 ((𝑉𝑆𝑆 ⊆ (Base‘𝑀)) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
1312ex 449 . . . . . 6 (𝑉𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
14133ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
155, 14mpd 15 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
16 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘𝑀)) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
182, 16, 17lcoval 42526 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
191, 15, 18syl2anc 694 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)))))
20 lincellss 42540 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
2120imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆)
22 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (𝑥𝑆 ↔ (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) ∈ 𝑆))
2321, 22syl5ibr 236 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ (𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)))) → 𝑥𝑆))
2423expd 451 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥𝑆)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥𝑆)))
2625adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → 𝑥𝑆)))
2726com13 88 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ 𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀))) → (𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥𝑆)))
2827impr 648 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉) ∧ (𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥𝑆))
2928rexlimiva 3057 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑥𝑆))
3029com12 32 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑀)) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉)) → 𝑥𝑆))
3130expimpd 628 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ ∃𝑓 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 𝑉)(𝑓 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑓( linC ‘𝑀)𝑉))) → 𝑥𝑆))
3219, 31sylbid 230 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → (𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉) → 𝑥𝑆))
3332ralrimiv 2994 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑀) ∧ 𝑉𝑆) → ∀𝑥 ∈ (𝑀 LinCo 𝑉)𝑥𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980   linC clinc 42518   LinCo clinco 42519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-linc 42520  df-lco 42521
This theorem is referenced by:  lcosslsp  42552
  Copyright terms: Public domain W3C validator