Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elixx1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elixx1 12389
 Description: Membership in an interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
ixx.1 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
Assertion
Ref Expression
elixx1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem elixx1
StepHypRef Expression
1 ixx.1 . . . 4 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧𝑧𝑆𝑦)})
21ixxval 12388 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑂𝐵) = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)})
32eleq2d 2836 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)}))
4 breq2 4791 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (𝐴𝑅𝑧𝐴𝑅𝐶))
5 breq1 4790 . . . . 5 (𝑧 = 𝐶 → (𝑧𝑆𝐵𝐶𝑆𝐵))
64, 5anbi12d 616 . . . 4 (𝑧 = 𝐶 → ((𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵) ↔ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
76elrab 3515 . . 3 (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
8 3anass 1080 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
97, 8bitr4i 267 . 2 (𝐶 ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝐴𝑅𝑧𝑧𝑆𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵))
103, 9syl6bb 276 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝑅𝐶𝐶𝑆𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796   ↦ cmpt2 6798  ℝ*cxr 10279 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-xr 10284 This theorem is referenced by:  elixx3g  12393  ixxssixx  12394  ixxdisj  12395  ixxun  12396  ixxss1  12398  ixxss2  12399  ixxss12  12400  ixxub  12401  ixxlb  12402  elioo1  12420  elioc1  12422  elico1  12423  elicc1  12424
 Copyright terms: Public domain W3C validator