MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elioopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elioopnf 12473
Description: Membership in an unbounded interval of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elioopnf (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10294 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elioo2 12421 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 671 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞)))
4 df-3an 1073 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
5 ltpnf 12159 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
65adantr 466 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 < +∞)
76pm4.71i 549 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
84, 7bitr4i 267 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵𝐵 < +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
93, 8syl6bb 276 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐵 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cr 10137  +∞cpnf 10273  *cxr 10275   < clt 10276  (,)cioo 12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-ioo 12384
This theorem is referenced by:  mbfmulc2lem  23634  mbfposr  23639  ismbf3d  23641  mbfaddlem  23647  mbfsup  23651  itg2gt0  23747  itg2cnlem1  23748  itg2cnlem2  23749  lhop2  23998  dvfsumlem2  24010  dvfsumlem3  24011  dvfsumrlimge0  24013  dvfsumrlim  24014  dvfsumrlim2  24015  pntpbnd1a  25495  pntpbnd2  25497  pntibndlem2  25501  pntibndlem3  25502  pntlemi  25514  pntlemo  25517  relowlssretop  33548  itg2addnclem2  33794  iblabsnclem  33805  ftc1anclem1  33817  ftc1anclem6  33822  rfcnpre1  39700  regt1loggt0  42858  rege1logbrege0  42880  rege1logbzge0  42881
  Copyright terms: Public domain W3C validator