MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eliooord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooord 12271
Description: Ordering implied by a member of an open interval of reals. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
eliooord (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem eliooord
StepHypRef Expression
1 eliooxr 12270 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*))
2 elioo2 12254 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
31, 2syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
43ibi 256 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
5 3simpc 1080 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
64, 5syl 17 1 (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  (,)cioo 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  elioo4g  12272  iccssioo2  12284  qdensere  22620  zcld  22663  reconnlem2  22677  xrge0tsms  22684  ovolioo  23382  ioorcl2  23386  itgsplitioo  23649  dvferm1lem  23792  dvferm2lem  23794  dvferm  23796  dvlt0  23813  dvivthlem1  23816  lhop1lem  23821  lhop1  23822  lhop2  23823  dvcvx  23828  ftc1lem4  23847  itgsubstlem  23856  itgsubst  23857  pilem2  24251  pilem3  24252  pigt2lt4  24253  tangtx  24302  tanabsge  24303  cosne0  24321  tanord  24329  tanregt0  24330  argimlt0  24404  logneg2  24406  divlogrlim  24426  logno1  24427  logcnlem3  24435  dvloglem  24439  logf1o2  24441  loglesqrt  24544  asinsin  24664  acoscos  24665  atanlogaddlem  24685  atanlogsub  24688  atantan  24695  atanbndlem  24697  scvxcvx  24757  lgamgulmlem2  24801  basellem8  24859  vmalogdivsum2  25272  vmalogdivsum  25273  2vmadivsumlem  25274  chpdifbndlem1  25287  selberg3lem1  25291  selberg3  25293  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6a  25316  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntpbnd  25322  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntibnd  25327  pntlemd  25328  pntlemb  25331  pntlemr  25336  pnt  25348  padicabv  25364  xrge0tsmsd  29913  fct2relem  30803  logdivsqrle  30856  knoppndvlem3  32630  iooelexlt  33340  relowlssretop  33341  poimir  33572  itg2gt0cn  33595  ftc1cnnclem  33613  radcnvrat  38830  cncfiooicclem1  40424  itgioocnicc  40511  iblcncfioo  40512  amgmwlem  42876
  Copyright terms: Public domain W3C validator