Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliood Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliood 40223
Description: Membership in an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliood.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliood.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliood.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliood.4 (𝜑𝐴 < 𝐶)
eliood.5 (𝜑𝐶 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliood (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem eliood
StepHypRef Expression
1 eliood.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliood.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐶)
3 eliood.5 . 2 (𝜑𝐶 < 𝐵)
4 eliood.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliood.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 elioo2 12409 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1428 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  *cxr 10265   < clt 10266  (,)cioo 12368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372
This theorem is referenced by:  ioomidp  40243  iocopn  40249  iooshift  40251  icoopn  40254  qinioo  40265  qelioo  40276  icomnfinre  40282  ressioosup  40285  ressiooinf  40287  uzubioo  40297  limciccioolb  40356  limcicciooub  40372  lptre2pt  40375  limcresiooub  40377  limcresioolb  40378  limcleqr  40379  xlimxrre  40560  cncfiooiccre  40611  dvbdfbdioolem2  40647  dvbdfbdioo  40648  ioodvbdlimc1lem1  40649  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  itgioocnicc  40696  dirkercncflem1  40823  dirkercncflem4  40826  fourierdlem10  40837  fourierdlem20  40847  fourierdlem25  40852  fourierdlem27  40854  fourierdlem28  40855  fourierdlem31  40858  fourierdlem32  40859  fourierdlem33  40860  fourierdlem40  40867  fourierdlem41  40868  fourierdlem43  40870  fourierdlem44  40871  fourierdlem46  40872  fourierdlem48  40874  fourierdlem49  40875  fourierdlem57  40883  fourierdlem59  40885  fourierdlem60  40886  fourierdlem61  40887  fourierdlem62  40888  fourierdlem64  40890  fourierdlem68  40894  fourierdlem73  40899  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem76  40902  fourierdlem78  40904  fourierdlem81  40907  fourierdlem82  40908  fourierdlem84  40910  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  fourierdlem92  40918  fourierdlem93  40919  fourierdlem97  40923  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem107  40933  fourierdlem109  40935  fourierdlem111  40937  fourierdlem112  40938  sqwvfourb  40949  fourierswlem  40950  fouriersw  40951  qndenserrnbllem  41017  ioorrnopnlem  41027  ioorrnopnxrlem  41029  hspdifhsp  41336  hspmbllem2  41347  pimiooltgt  41427  pimrecltneg  41439  smfresal  41501  smfmullem2  41505
  Copyright terms: Public domain W3C validator