Theorem elioo2 12409

Description: Membership in an open interval of extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
elioo2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Proof of Theorem elioo2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval2 12401	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴(,)𝐵) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)})
2	1	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)}))
3		breq2 4808	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐶))
4		breq1 4807	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 < 𝐵 ↔ 𝐶 < 𝐵))
5	3, 4	anbi12d 749	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
6	5	elrab 3504	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7		3anass 1081	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	6, 7	bitr4i 267	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)} ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
9	2, 8	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  ℝ^*cxr 10265   < clt 10266  (,)cioo 12368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372

This theorem is referenced by:  eliooord  12426  elioopnf  12460  elioomnf  12461  difreicc  12497  xov1plusxeqvd  12511  tanhbnd  15090  bl2ioo  22796  xrtgioo  22810  zcld  22817  iccntr  22825  icccmplem2  22827  reconnlem1  22830  reconnlem2  22831  icoopnst  22939  iocopnst  22940  ivthlem3  23422  ovolicc2lem1  23485  ovolicc2lem5  23489  ioombl1lem4  23529  mbfmax  23615  itg2monolem1  23716  itg2monolem3  23718  dvferm1lem  23946  dvferm2lem  23948  dvlip2  23957  dvivthlem1  23970  lhop1lem  23975  lhop  23978  dvcnvrelem1  23979  dvcnvre  23981  itgsubst  24011  sincosq1sgn  24449  sincosq2sgn  24450  sincosq3sgn  24451  sincosq4sgn  24452  coseq00topi  24453  tanabsge  24457  sinq12gt0  24458  sinq12ge0  24459  cosq14gt0  24461  sincos6thpi  24466  sineq0  24472  cosordlem  24476  tanord1  24482  tanord  24483  argregt0  24555  argimgt0  24557  argimlt0  24558  dvloglem  24593  logf1o2  24595  efopnlem2  24602  asinsinlem  24817  acoscos  24819  atanlogsublem  24841  atantan  24849  atanbndlem  24851  atanbnd  24852  atan1  24854  scvxcvx  24911  basellem1  25006  pntibndlem1  25477  pntibnd  25481  pntlemc  25483  padicabvf  25519  padicabvcxp  25520  dfrp2  29841  cnre2csqlem  30265  ivthALT  32636  iooelexlt  33521  itg2gt0cn  33778  iblabsnclem  33786  dvasin  33809  areacirclem1  33813  areacirc  33818  cvgdvgrat  39014  radcnvrat  39015  sineq0ALT  39672  ioogtlb  40220  eliood  40223  eliooshift  40232  iooltub  40238  limciccioolb  40356  limcicciooub  40372  cncfioobdlem  40612  ditgeqiooicc  40679  dirkercncflem1  40823  dirkercncflem4  40826  fourierdlem10  40837  fourierdlem32  40859  fourierdlem62  40888  fourierdlem81  40907  fourierdlem82  40908  fourierdlem93  40919  fourierdlem104  40930  fourierdlem111  40937