MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elii1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elii1 22953
Description: Divide the unit interval into two pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elii1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))

Proof of Theorem elii1
StepHypRef Expression
1 0re 10241 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 halfre 11447 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
31, 2elicc2i 12443 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)))
43simp1bi 1138 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ∈ ℝ)
52a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
6 1re 10240 . . . . 5 1 ∈ ℝ
76a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 1 ∈ ℝ)
83simp3bi 1140 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ (1 / 2))
9 halflt1 11451 . . . . . 6 (1 / 2) < 1
102, 6, 9ltleii 10361 . . . . 5 (1 / 2) ≤ 1
1110a1i 11 . . . 4 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → (1 / 2) ≤ 1)
124, 5, 7, 8, 11letrd 10395 . . 3 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) → 𝑋 ≤ 1)
1312pm4.71ri 542 . 2 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))))
14 ancom 452 . . 3 ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
15 an32 617 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
16 df-3an 1072 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
173, 16bitri 264 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
1817anbi1i 602 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1))
191, 6elicc2i 12443 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1))
20 df-3an 1072 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
2119, 20bitri 264 . . . . 5 (𝑋 ∈ (0[,]1) ↔ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1))
2221anbi1i 602 . . . 4 ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)) ↔ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ 𝑋 ≤ 1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2315, 18, 223bitr4i 292 . . 3 ((𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ∧ 𝑋 ≤ 1) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2414, 23bitri 264 . 2 ((𝑋 ≤ 1 ∧ 𝑋 ∈ (0[,](1 / 2))) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
2513, 24bitri 264 1 (𝑋 ∈ (0[,](1 / 2)) ↔ (𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑋 ≤ (1 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1070  wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138  cle 10276   / cdiv 10885  2c2 11271  [,]cicc 12382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-2 11280  df-icc 12386
This theorem is referenced by:  phtpycc  23009  pcoval1  23031  copco  23036  pcohtpylem  23037  pcopt  23040  pcopt2  23041  pcorevlem  23044
  Copyright terms: Public domain W3C validator