MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicopnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicopnf 12458
Description: Membership in a closed unbounded interval of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicopnf (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem elicopnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10280 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
2 elico2 12426 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
31, 2mpan2 709 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞)))
4 ltpnf 12143 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
54adantr 472 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 < +∞)
65pm4.71i 667 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
7 df-3an 1074 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞) ↔ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝐵 < +∞))
86, 7bitr4i 267 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵 < +∞))
93, 8syl6bbr 278 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ (𝐴[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2135   class class class wbr 4800  (class class class)co 6809  cr 10123  +∞cpnf 10259  *cxr 10261   < clt 10262  cle 10263  [,)cico 12366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-po 5183  df-so 5184  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-ico 12370
This theorem is referenced by:  elrege0  12467  rexico  14288  limsupgle  14403  limsupgre  14407  rlim3  14424  ello12  14442  lo1bdd2  14450  elo12  14453  lo1resb  14490  rlimresb  14491  o1resb  14492  lo1eq  14494  rlimeq  14495  rlimsqzlem  14574  o1fsum  14740  ovolicopnf  23488  dvfsumrlimge0  23988  dvfsumrlim  23989  dvfsumrlim2  23990  cxp2lim  24898  chebbnd1  25356  chtppilimlem1  25357  chtppilimlem2  25358  chtppilim  25359  chebbnd2  25361  chto1lb  25362  chpchtlim  25363  chpo1ub  25364  vmadivsumb  25367  dchrisumlema  25372  dchrisumlem2  25374  dchrisumlem3  25375  dchrmusumlema  25377  dchrmusum2  25378  dchrvmasumlem2  25382  dchrvmasumiflem1  25385  dchrisum0lema  25398  dchrisum0lem1b  25399  dchrisum0lem2a  25401  dchrisum0lem2  25402  2vmadivsumlem  25424  selbergb  25433  selberg2b  25436  chpdifbndlem1  25437  selberg3lem1  25441  selberg3lem2  25442  selberg4lem1  25444  pntrsumo1  25449  selbergsb  25459  pntrlog2bndlem3  25463  pntpbnd1  25470  pntpbnd2  25471  pntibndlem3  25476  pntlemn  25484  pntlem3  25493  pntleml  25495  pnt2  25497  uzssico  29851  itg2addnclem2  33771  elbigo2  42852  rege1logbrege0  42858  blennnelnn  42876  dignnld  42903
  Copyright terms: Public domain W3C validator