Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elicoelioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicoelioo 29668
Description: Relate elementhood to a closed-below, open-above interval with elementhood to the same open interval or to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
elicoelioo ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))

Proof of Theorem elicoelioo
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 simpl2 1085 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 simprl 809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4 elico1 12256 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
54biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵))
65simp1d 1093 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
71, 2, 3, 6syl21anc 1365 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
85simp2d 1094 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐴𝐶)
91, 2, 3, 8syl21anc 1365 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴𝐶)
101, 2jca 553 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
11 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
125simp3d 1095 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐵)
1310, 3, 12syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 < 𝐵)
14 elioo1 12253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1514notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
1615biimpa 500 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
17 3anan32 1068 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
1817notbii 309 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
19 imnan 437 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶) ↔ ¬ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐶))
2018, 19bitr4i 267 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2116, 20sylib 208 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐶))
2221imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐶 < 𝐵)) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
2310, 11, 7, 13, 22syl22anc 1367 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → ¬ 𝐴 < 𝐶)
24 xeqlelt 29666 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)))
2524biimpar 501 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐶)) → 𝐴 = 𝐶)
261, 7, 9, 23, 25syl22anc 1367 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐴 = 𝐶)
2726ex 449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 = 𝐶))
28 eqcom 2658 . . . . 5 (𝐴 = 𝐶𝐶 = 𝐴)
2927, 28syl6ib 241 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴))
30 pm5.6 971 . . . 4 (((𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ∧ ¬ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
3129, 30sylib 208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴)))
32 orcom 401 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝐶 = 𝐴) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
3331, 32syl6ib 241 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
34 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐴)
35 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3634, 35eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ*)
37 xrleid 12021 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐴)
3938, 34breqtrrd 4713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴𝐶)
40 simpl3 1086 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐴 < 𝐵)
4134, 40eqbrtrd 4707 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 < 𝐵)
42 simpl2 1085 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4335, 42, 4syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶 < 𝐵)))
4436, 39, 41, 43mpbir3and 1264 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 = 𝐴) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
45 ioossico 12300 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,)𝐵)
46 simpr 476 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4745, 46sseldi 3634 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4844, 47jaodan 843 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))
4948ex 449 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵)))
5033, 49impbid 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 = 𝐴𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213  [,)cico 12215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-ioo 12217  df-ico 12219
This theorem is referenced by:  xrge0mulc1cn  30115
  Copyright terms: Public domain W3C validator