Theorem elicod 12413

Description: Membership in a left closed, right open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
elicod.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
elicod.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
elicod.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
elicod.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
elicod.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
elicod	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem elicod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicod.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
2		elicod.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
3		elicod.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
4		elicod.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elicod.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
6		elico1 12407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
8	1, 2, 3, 7	mpbir3and 1428	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2135   class class class wbr 4800  (class class class)co 6809  ℝ^*cxr 10261   < clt 10262   ≤ cle 10263  [,)cico 12366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-xr 10266  df-ico 12370

This theorem is referenced by:  fprodge1  14921  absfico  39905  icoiccdif  40249  icoopn  40250  eliccnelico  40255  eliccelicod  40256  ge0xrre  40257  uzinico  40286  fsumge0cl  40304  limsupresico  40431  limsuppnfdlem  40432  limsupmnflem  40451  liminfresico  40502  limsup10exlem  40503  liminflelimsupuz  40516  xlimmnfvlem2  40558  icocncflimc  40601  fourierdlem41  40864  fourierdlem46  40868  fourierdlem48  40870  fouriersw  40947  fge0iccico  41086  sge0tsms  41096  sge0repnf  41102  sge0pr  41110  sge0iunmptlemre  41131  sge0rpcpnf  41137  sge0rernmpt  41138  sge0ad2en  41147  sge0xaddlem2  41150  voliunsge0lem  41188  meassre  41193  meaiuninclem  41196  omessre  41226  omeiunltfirp  41235  hoiprodcl  41263  hoicvr  41264  ovnsubaddlem1  41286  hoiprodcl3  41296  hoidmvcl  41298  hoidmv1lelem3  41309  hoidmvlelem3  41313  hoidmvlelem5  41315  hspdifhsp  41332  hoiqssbllem1  41338  hoiqssbllem2  41339  hspmbllem2  41343  volicorege0  41353  ovolval5lem1  41368  iunhoiioolem  41391  preimaicomnf  41424  mod42tp1mod8  42025