Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccxrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccxrd 40269
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccxrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
eliccxrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
eliccxrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
eliccxrd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccxrd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccxrd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccxrd
StepHypRef Expression
1 eliccxrd.4 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
2 eliccxrd.5 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
31, 2jca 501 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶𝐶𝐵))
4 eliccxrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 eliccxrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 eliccxrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
7 elicc4 12445 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
84, 5, 6, 7syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
93, 8mpbird 247 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787  (class class class)co 6796  *cxr 10279  cle 10281  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-xr 10284  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  inficc  40276  iccdificc  40281  sge0cl  41112  sge0p1  41145  sge0rpcpnf  41152  ovnsubaddlem1  41301  ovolval5lem1  41383
  Copyright terms: Public domain W3C validator