Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliccd 40229
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliccd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliccd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliccd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliccd.4 (𝜑𝐴𝐶)
eliccd.5 (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
eliccd (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem eliccd
StepHypRef Expression
1 eliccd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2 eliccd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐶)
3 eliccd.5 . 2 (𝜑𝐶𝐵)
4 eliccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 eliccd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6 elicc2 12431 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
74, 5, 6syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
81, 2, 3, 7mpbir3and 1428 1 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  cle 10267  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  iccshift  40247  iooiinicc  40272  sqrlearg  40283  limciccioolb  40356  cncfiooicclem1  40609  iblspltprt  40692  itgspltprt  40698  itgiccshift  40699  itgperiod  40700  itgsbtaddcnst  40701  fourierdlem15  40842  fourierdlem17  40844  fourierdlem40  40867  fourierdlem50  40876  fourierdlem51  40877  fourierdlem62  40888  fourierdlem63  40889  fourierdlem64  40890  fourierdlem65  40891  fourierdlem73  40899  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem76  40902  fourierdlem78  40904  fourierdlem81  40907  fourierdlem82  40908  fourierdlem92  40918  fourierdlem93  40919  fourierdlem101  40927  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem107  40933  fourierdlem111  40937  rrxsnicc  41023  salgencntex  41064  hoidmv1lelem2  41312  hoidmvlelem1  41315  hoidmvlelem2  41316  iinhoiicclem  41393  smfmullem1  41504
  Copyright terms: Public domain W3C validator