MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elicc2 12431
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))

Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 10277 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10277 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 elicc1 12412 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
41, 2, 3syl2an 495 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)))
5 mnfxr 10288 . . . . . . . 8 -∞ ∈ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
71ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 simpr1 1234 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
9 mnflt 12150 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
109ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐴)
11 simpr2 1236 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐴𝐶)
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 12185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → -∞ < 𝐶)
132ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 pnfxr 10284 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → +∞ ∈ ℝ*)
16 simpr3 1238 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶𝐵)
17 ltpnf 12147 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 < +∞)
1817ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐵 < +∞)
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 12184 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 < +∞)
20 xrrebnd 12192 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ* → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
218, 20syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐶𝐶 < +∞)))
2212, 19, 21mpbir2and 995 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → 𝐶 ∈ ℝ)
2322, 11, 163jca 1123 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵))
2423ex 449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
25 rexr 10277 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
26253anim1i 1156 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵))
2724, 26impbid1 215 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
284, 27bitrd 268 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  cr 10127  +∞cpnf 10263  -∞cmnf 10264  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  elicc2i  12432  iccssre  12448  iccsupr  12459  iccneg  12486  iccsplit  12498  iccshftr  12499  iccshftl  12501  iccdil  12503  icccntr  12505  iccf1o  12509  supicc  12513  icco1  14470  iccntr  22825  icccmplem1  22826  icccmplem2  22827  icccmplem3  22828  reconnlem1  22830  reconnlem2  22831  cnmpt2pc  22928  icoopnst  22939  iocopnst  22940  cnheiborlem  22954  ivthlem2  23421  ivthlem3  23422  ivthicc  23427  evthicc2  23429  ovolficc  23437  ovolicc1  23484  ovolicc2lem2  23486  ovolicc2lem5  23489  ovolicopnf  23492  dyadmaxlem  23565  opnmbllem  23569  volsup2  23573  volcn  23574  mbfi1fseqlem6  23686  itgspliticc  23802  itgsplitioo  23803  ditgcl  23821  ditgswap  23822  ditgsplitlem  23823  ditgsplit  23824  dvlip  23955  dvlip2  23957  dveq0  23962  dvgt0lem1  23964  dvivthlem1  23970  dvne0  23973  dvcnvrelem1  23979  dvcnvrelem2  23980  dvcnvre  23981  dvfsumlem2  23989  ftc1lem1  23997  ftc1lem2  23998  ftc1a  23999  ftc1lem4  24001  ftc2  24006  ftc2ditglem  24007  itgsubstlem  24010  pserulm  24375  loglesqrt  24698  log2tlbnd  24871  ppisval  25029  chtleppi  25134  fsumvma2  25138  chpchtsum  25143  chpub  25144  rplogsumlem2  25373  chpdifbndlem1  25441  pntibndlem2a  25478  pntibndlem2  25479  pntlemj  25491  pntlem3  25497  pntleml  25499  resconn  31535  cvmliftlem10  31583  opnmbllem0  33758  ftc2nc  33807  areacirclem2  33814  areacirclem4  33816  areacirc  33818  isbnd3  33896  isbnd3b  33897  prdsbnd  33905  iccbnd  33952  eliccd  40229  eliccre  40231  iccshift  40247  iccsuble  40248  limcicciooub  40372  icccncfext  40603  itgsubsticc  40695  iblcncfioo  40697  itgiccshift  40699  itgperiod  40700  itgsbtaddcnst  40701  fourierdlem42  40869  fourierdlem54  40880  fourierdlem63  40889  fourierdlem65  40891  fourierdlem74  40900  fourierdlem75  40901  fourierdlem82  40908  fourierdlem93  40919  fourierdlem101  40927  fourierdlem104  40930  fourierdlem111  40937
  Copyright terms: Public domain W3C validator