Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elhf 32618
Description: Membership in the hereditarily finite sets. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
elhf (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elhf
StepHypRef Expression
1 df-hf 32617 . . 3 Hf = (𝑅1 “ ω)
21eleq2i 2842 . 2 (𝐴 ∈ Hf ↔ 𝐴 (𝑅1 “ ω))
3 r111 8802 . . 3 𝑅1:On–1-1→V
4 f1fun 6243 . . 3 (𝑅1:On–1-1→V → Fun 𝑅1)
5 eluniima 6651 . . 3 (Fun 𝑅1 → (𝐴 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥)))
63, 4, 5mp2b 10 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
72, 6bitri 264 1 (𝐴 ∈ Hf ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2145  wrex 3062  Vcvv 3351   cuni 4574  cima 5252  Oncon0 5866  Fun wfun 6025  1-1wf1 6028  cfv 6031  ωcom 7212  𝑅1cr1 8789   Hf chf 32616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-r1 8791  df-hf 32617
This theorem is referenced by:  elhf2  32619  0hf  32621
  Copyright terms: Public domain W3C validator