MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuzb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuzb 12549
Description: Membership in a finite set of sequential integers in terms of sets of upper integers. (Contributed by NM, 18-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuzb (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))

Proof of Theorem elfzuzb
StepHypRef Expression
1 df-3an 1074 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
2 an6 1557 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
3 df-3an 1074 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
4 anandir 907 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)))
5 ancom 465 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
65anbi2i 732 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
73, 4, 63bitri 286 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
87anbi1i 733 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
91, 2, 83bitr4ri 293 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)))
10 elfz2 12546 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝐾𝐾𝑁)))
11 eluz2 11905 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾))
12 eluz2 11905 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁))
1311, 12anbi12i 735 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝐾) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑁)))
149, 10, 133bitr4i 292 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cle 10287  cz 11589  cuz 11899  ...cfz 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540
This theorem is referenced by:  eluzfz  12550  elfzuz  12551  elfzuz3  12552  elfzuz2  12559  peano2fzr  12567  fzsplit2  12579  fzass4  12592  fzss1  12593  fzss2  12594  ssfzunsnext  12599  fzp1elp1  12607  fznn  12621  elfz2nn0  12644  elfzofz  12699  fzosplitsnm1  12757  fzofzp1b  12780  fzosplitsn  12790  seqcl2  13033  seqfveq2  13037  monoord  13045  seqid2  13061  bcn1  13314  fz1isolem  13457  seqcoll  13460  ccatrn  13581  swrds1  13671  swrdccat1  13677  swrdccat2  13678  spllen  13725  splfv2a  13727  splval2  13728  caubnd  14317  isercolllem2  14615  isercolllem3  14616  summolem2a  14665  fsum0diag2  14734  climcndslem1  14800  mertenslem1  14835  prodmolem2a  14883  vdwlem2  15908  vdwlem8  15914  gexcl3  18222  efginvrel2  18360  efgredleme  18376  efgcpbllemb  18388  1stckgenlem  21578  imasdsf1olem  22399  iscmet3lem1  23309  dvtaylp  24343  mtest  24377  ppisval  25050  ppisval2  25051  chtdif  25104  ppidif  25109  logfaclbnd  25167  bposlem4  25232  dchrisumlem2  25399  pntpbnd1  25495  fzsplit3  29883  mettrifi  33884  monoordxrv  40228  smonoord  41869
  Copyright terms: Public domain W3C validator