MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzuz3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzuz3 12377
Description: Membership in a finite set of sequential integers implies membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzuz3 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))

Proof of Theorem elfzuz3
StepHypRef Expression
1 elfzuzb 12374 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
21simprbi 479 1 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-neg 10307  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  elfzel2  12378  elfzle2  12383  peano2fzr  12392  fzsplit2  12404  fzsplit  12405  fznn0sub  12411  fzopth  12416  fzss1  12418  fzss2  12419  fzp1elp1  12432  predfz  12503  fzosplit  12540  fzoend  12599  fzofzp1b  12606  uzindi  12821  seqcl2  12859  seqfveq2  12863  monoord  12871  sermono  12873  seqsplit  12874  seqf1olem2  12881  seqid2  12887  seqhomo  12888  seqz  12889  bcval5  13145  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  swrdval2  13465  swrd0val  13466  swrd0len  13467  spllen  13551  splfv2a  13553  fsum0diag2  14559  climcndslem2  14626  prodfn0  14670  lcmflefac  15408  pcbc  15651  vdwlem2  15733  vdwlem5  15736  vdwlem6  15737  vdwlem8  15739  prmgaplem1  15800  psgnunilem5  17960  efgsres  18197  efgredleme  18202  efgcpbllemb  18214  imasdsf1olem  22225  volsup  23370  dvn2bss  23738  dvtaylp  24169  wilth  24842  ftalem1  24844  ppisval2  24876  dvdsppwf1o  24957  logfaclbnd  24992  bposlem6  25059  wlkres  26623  fzsplit3  29681  ballotlemsima  30705  ballotlemfrc  30716  ballotlemfrceq  30718  fzssfzo  30741  wrdres  30745  signstres  30780  fsum2dsub  30813  erdszelem7  31305  erdszelem8  31306  poimirlem1  33540  poimirlem2  33541  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem7  33546  poimirlem12  33551  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem29  33568  poimirlem31  33570  mettrifi  33683  bcc0  38856  iunincfi  39586  monoordxrv  40025  fmulcl  40131  fmul01lt1lem2  40135  dvnprodlem2  40480  stoweidlem11  40546  stoweidlem17  40552  fourierdlem15  40657  ssfz12  41649  smonoord  41666  pfxres  41713  pfxf  41714  repswpfx  41761
  Copyright terms: Public domain W3C validator