Theorem elfzom1elp1fzo 12743

Description: Membership of an integer incremented by one in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 5-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzom1elp1fzo	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem elfzom1elp1fzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzofz 12693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)))
2		elfzuz2 12553	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
3		elnn0uz 11932	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0))
4		zcn 11589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
5	4	anim1i 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
6		elnnnn0 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
7	5, 6	sylibr 224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ)
8	7	expcom 398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
9	3, 8	sylbir 225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
10	1, 2, 9	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℕ))
11	10	impcom 394	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
12		1nn0 11515	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
14		nnnn0 11506	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15		nnge1 11252	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
16	13, 14, 15	3jca 1122	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
17	11, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
18		elfz2nn0 12638	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁))
19	17, 18	sylibr 224	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 1 ∈ (0...𝑁))
20		fzossrbm1 12705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
21	20	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
22		fzossfz 12696	. . . . . 6 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ (0...𝑁)
23	21, 22	syl6ss 3764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
24		simpr 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
25	23, 24	jca 501	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
26		ssel2 3747	. . . 4 ⊢ (((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝐼 ∈ (0...𝑁))
27		elfzubelfz 12560	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
28	25, 26, 27	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
29	19, 28	jca 501	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
30		elfzodifsumelfzo 12742	. 2 ⊢ ((1 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁)))
31	29, 24, 30	sylc 65	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   ≤ cle 10281   − cmin 10472  ℕcn 11226  ℕ₀cn0 11499  ℤcz 11584  ℤ_≥cuz 11893  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674

This theorem is referenced by:  clwwlkccatlem  27139  clwlkclwwlk  27152  clwwlkinwwlk  27196  clwwlkf  27203  clwwlkwwlksb  27211  clwlksfclwwlkOLD  27243