MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzolt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzolt2 12693
Description: A member in a half-open integer interval is less than the upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzolt2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)

Proof of Theorem elfzolt2
StepHypRef Expression
1 elfzoelz 12684 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 elfzoel1 12682 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 elfzoel2 12683 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 elfzo 12686 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
51, 2, 3, 4syl3anc 1477 . . 3 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁)))
65ibi 256 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑁))
76simprd 482 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814   < clt 10286  cle 10287  cz 11589  ..^cfzo 12679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680
This theorem is referenced by:  elfzolt3  12694  elfzolt2b  12695  fzonel  12697  elfzouz2  12698  fzonnsub  12707  fzospliti  12714  fzodisj  12716  fzouzdisj  12718  fzodisjsn  12720  elfzo0  12723  elfzo1  12732  fzoaddel  12735  elincfzoext  12740  ssfzo12  12775  elfznelfzob  12788  modaddmodlo  12948  ccatrn  13581  swrds2  13905  fzomaxdiflem  14301  fzo0dvdseq  15267  bitsfzolem  15378  bitsfzo  15379  sadcaddlem  15401  sadaddlem  15410  sadasslem  15414  sadeq  15416  smuval2  15426  smupvallem  15427  smueqlem  15434  crth  15705  eulerthlem2  15709  hashgcdlem  15715  prmgaplem6  15982  znf1o  20122  iundisj  23536  tgcgr4  25646  clwlkclwwlklem2fv1  27139  iundisjf  29730  iundisjfi  29885  smattl  30194  smattr  30195  smatbl  30196  signsplypnf  30957  breprexplemc  31040  poimirlem17  33757  poimirlem20  33760  elfzfzo  40005  elfzop1le2  40019  dvnmul  40679  iblspltprt  40710  itgspltprt  40716  stoweidlem3  40741  fourierdlem12  40857  fourierdlem50  40894  fourierdlem64  40908  fourierdlem79  40923  iccpartgt  41891  m1modmmod  42844
  Copyright terms: Public domain W3C validator