MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzofz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzofz 12671
Description: A half-open range is contained in the corresponding closed range. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzofz (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem elfzofz
StepHypRef Expression
1 elfzouz 12660 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzouz2 12670 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
3 elfzuzb 12521 . 2 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
41, 2, 3sylanbrc 701 1 (𝐾 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  cfv 6041  (class class class)co 6805  cuz 11871  ...cfz 12511  ..^cfzo 12651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-fzo 12652
This theorem is referenced by:  fzossfz  12674  elfzom1elp1fzo  12721  uzindi  12967  swrdfv0  13616  2swrdeqwrdeq  13645  telfsumo  14725  telfsumo2  14726  fsumparts  14729  prodfn0  14817  hashgcdlem  15687  cshwshashlem2  15997  efgs1b  18341  efgredlem  18352  cpmadugsumlemF  20875  dvfsumle  23975  dvfsumabs  23977  dvntaylp  24316  taylthlem1  24318  taylthlem2  24319  pntpbnd1  25466  pntlemj  25483  pntlemi  25484  pntlemf  25485  upgrewlkle2  26704  wlk1walk  26737  wlkp1lem6  26777  trlreslem  26798  upgrwlkdvdelem  26834  crctcshwlkn0lem4  26908  crctcshwlkn0lem5  26909  crctcshwlkn0lem6  26910  clwwisshclwws  27130  trlsegvdeglem1  27364  poimirlem24  33738  poimirlem25  33739  poimirlem29  33743  poimirlem31  33745  elfzfzo  39979  dvnmptdivc  40648  fourierdlem1  40820  fourierdlem12  40831  fourierdlem14  40833  fourierdlem15  40834  fourierdlem20  40839  fourierdlem25  40844  fourierdlem27  40846  fourierdlem41  40860  fourierdlem46  40864  fourierdlem48  40866  fourierdlem49  40867  fourierdlem50  40868  fourierdlem54  40872  fourierdlem63  40881  fourierdlem64  40882  fourierdlem65  40883  fourierdlem69  40887  fourierdlem70  40888  fourierdlem71  40889  fourierdlem72  40890  fourierdlem73  40891  fourierdlem74  40892  fourierdlem75  40893  fourierdlem76  40894  fourierdlem79  40897  fourierdlem80  40898  fourierdlem81  40899  fourierdlem84  40902  fourierdlem85  40903  fourierdlem88  40906  fourierdlem89  40907  fourierdlem90  40908  fourierdlem91  40909  fourierdlem92  40910  fourierdlem93  40911  fourierdlem94  40912  fourierdlem97  40915  fourierdlem102  40920  fourierdlem103  40921  fourierdlem104  40922  fourierdlem111  40929  fourierdlem113  40931  fourierdlem114  40932  iccpartiltu  41860  iccelpart  41871  iccpartiun  41872  icceuelpartlem  41873  icceuelpart  41874  iccpartdisj  41875  iccpartnel  41876  pfxsuffeqwrdeq  41908
  Copyright terms: Public domain W3C validator