MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoelz 12662
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12660 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 elfzoel2 12661 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 fzof 12659 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
43fovcl 6928 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
51, 2, 4syl2anc 696 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
65elpwid 4312 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7 id 22 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
86, 7sseldd 3743 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2137  𝒫 cpw 4300  (class class class)co 6811  cz 11567  ..^cfzo 12657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-fv 6055  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-neg 10459  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-fzo 12658
This theorem is referenced by:  elfzo2  12665  elfzole1  12670  elfzolt2  12671  elfzolt3  12672  elfzolt2b  12673  elfzouz2  12676  fzonnsub  12685  fzospliti  12692  fzodisj  12694  fzodisjsn  12698  fzonmapblen  12706  fzoaddel  12713  elincfzoext  12718  fzosubel  12719  elfzom1elp1fzo1  12760  elfzo1elm1fzo0  12761  elfznelfzob  12766  modaddmodup  12925  modaddmodlo  12926  modfzo0difsn  12934  modsumfzodifsn  12935  addmodlteq  12937  wrdexg  13499  ccatval3  13549  ccatlid  13556  ccatass  13558  ccatrn  13559  ccatalpha  13563  swrd0val  13618  swrdfv0  13622  swrdid  13626  swrd0fv  13637  swrdfv2  13644  swrds1  13649  ccatswrd  13654  swrdswrd  13658  swrdccatin12lem2a  13683  swrdccatin2  13685  swrdccatin12lem2  13687  splfv1  13704  splfv2a  13705  revccat  13713  revrev  13714  repswrevw  13731  cshwidxmod  13747  cshwidxmodr  13748  cshwidx0  13750  cshwidxm1  13751  cshweqrep  13765  cshw1  13766  cshimadifsn  13773  cshimadifsn0  13774  cshco  13780  fzomaxdiflem  14279  fzomaxdif  14280  fzo0dvdseq  15245  fzocongeq  15246  addmodlteqALT  15247  crth  15683  phimullem  15684  eulerthlem1  15686  eulerthlem2  15687  hashgcdlem  15693  hashgcdeq  15694  phisum  15695  reumodprminv  15709  modprm0  15710  nnnn0modprm0  15711  modprmn0modprm0  15712  prmgaplem7  15961  cshwshashlem2  16003  cshwshashlem3  16004  cshwrepswhash1  16009  psgnunilem5  18112  odf1o2  18186  odngen  18190  efgsp1  18348  efgsres  18349  znf1o  20100  zntoslem  20105  znunithash  20113  dvfsumle  23981  dvfsumabs  23983  dchrisumlem1  25375  dchrisumlem2  25376  dchrisum  25378  pntlemq  25487  pntlemr  25488  pntlemj  25489  pntlemi  25490  pntlemf  25491  wlk1walk  26743  pthdadjvtx  26834  crctcshwlkn0lem3  26913  crctcshwlkn0lem4  26914  crctcshwlkn0lem5  26915  crctcshwlkn0lem6  26916  crctcshlem2  26919  crctcshwlkn0  26922  crctcshtrl  26924  crctcsh  26925  clwwlkccatlem  27110  clwwisshclwwslem  27135  clwwisshclwws  27136  eucrctshift  27393  eucrct2eupth  27395  signsvfn  30966  poimirlem8  33728  poimirlem18  33738  poimirlem21  33741  poimirlem22  33742  poimirlem24  33744  elfzop1le2  39999  iblspltprt  40690  itgspltprt  40696  stoweidlem3  40721  fourierdlem12  40837  fourierdlem20  40845  fourierdlem46  40870  fourierdlem50  40874  fourierdlem54  40878  fourierdlem63  40887  fourierdlem64  40888  fourierdlem65  40889  fourierdlem76  40900  fourierdlem79  40903  fourierdlem102  40926  fourierdlem103  40927  fourierdlem104  40928  fourierdlem114  40938  iundjiun  41178  carageniuncllem1  41239  caratheodorylem1  41244  iccpartipre  41865  iccpartiltu  41866  iccpartigtl  41867  iccpartgt  41871  icceuelpartlem  41879  icceuelpart  41880  iccpartnel  41882  fargshiftf1  41885  pfxfv  41907  ccatpfx  41917  pfxccatin12lem2  41932  pwdif  42009  pwm1geoserALT  42010  bgoldbtbndlem2  42202  m1modmmod  42824  fllog2  42870  nn0sumshdiglemA  42921  nn0sumshdiglemB  42922  nn0mullong  42927
  Copyright terms: Public domain W3C validator