MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoel2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoel2 12676
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoel2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2
StepHypRef Expression
1 ne0i 4067 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2 fzof 12674 . . . . . 6 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
32fdmi 6192 . . . . 5 dom ..^ = (ℤ × ℤ)
43ndmov 6964 . . . 4 (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
54necon1ai 2969 . . 3 ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
61, 5syl 17 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
76simprd 477 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2144  wne 2942  c0 4061  𝒫 cpw 4295   × cxp 5247  (class class class)co 6792  cz 11578  ..^cfzo 12672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-neg 10470  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673
This theorem is referenced by:  elfzoelz  12677  elfzo2  12680  elfzole1  12685  elfzolt2  12686  elfzolt3  12687  elfzolt2b  12688  elfzolt3b  12689  fzonel  12690  elfzouz2  12691  fzonnsub  12700  fzoss1  12702  fzospliti  12707  fzodisj  12709  fzoaddel  12728  fzo0addelr  12730  elfzoext  12732  elincfzoext  12733  fzosubel  12734  fzoend  12766  ssfzo12  12768  fzofzp1  12772  elfzo1elm1fzo0  12776  fzonfzoufzol  12778  elfznelfzob  12781  peano2fzor  12782  fzostep1  12791  modsumfzodifsn  12950  addmodlteq  12952  cshwidxm1  13761  cshimadifsn0  13784  fzomaxdiflem  14289  fzo0dvdseq  15253  fzocongeq  15254  addmodlteqALT  15255  efgsp1  18356  efgsres  18357  crctcshwlkn0lem2  26938  crctcshwlkn0lem3  26939  crctcshwlkn0lem5  26941  crctcshwlkn0lem6  26942  crctcshwlkn0  26948  crctcsh  26951  eucrctshift  27420  eucrct2eupth  27422  fzssfzo  30947  signsvfn  30993  elfzop1le2  40014  elfzolem1  40047  dvnmul  40670  iblspltprt  40700  stoweidlem3  40731  fourierdlem12  40847  fourierdlem50  40884  fourierdlem64  40898  fourierdlem79  40913  fzoopth  41855  iccpartiltu  41876  iccpartgt  41881  bgoldbtbndlem2  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator