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Theorem elfznelfzo 12613
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))

Proof of Theorem elfznelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12469 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾))
2 nn0z 11438 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
3 nn0z 11438 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
42, 3anim12i 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
543adant3 1101 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
6 elfzom1b 12607 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
87notbid 307 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ ¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1))))
9 elfzo0 12548 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
1110notbid 307 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) ↔ ¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1))))
12 3ianor 1074 . . . . . . 7 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) ↔ (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
13 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0))
14 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑀 = 0)
1514anbi2i 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0))
1613, 15bitr2i 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
17 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1816, 17sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑀 = 0) → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
1918ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0))
2019con1d 139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 = 0))
2120imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → 𝑀 = 0)
2221orcd 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ ¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2322ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
24233ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
2524com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
26 ioran 510 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
27 nn1m1nn 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ))
28 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
29 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
3029ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℝ)
31 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝐾 ∈ ℝ)
34 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → 𝑀𝐾)
3530, 33, 34leltned 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾𝐾𝑀))
36 necom 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀𝐾𝐾𝑀)
3735, 36syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾𝑀 < 𝐾))
39 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 ↔ 1 < 𝐾))
4039biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → 1 < 𝐾)
41 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
4241, 32, 41ltsub1d 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 ↔ (1 − 1) < (𝐾 − 1)))
43 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (1 − 1) = 0
4443breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 0 < (𝐾 − 1))
45 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
463, 45zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
50 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝐾 − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 − 1)))
5148, 49, 50sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 0 < (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
5251ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5344, 52syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((1 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5442, 53sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (1 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5540, 54syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑀 = 1 ∧ 𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5655expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) → (𝑀 = 1 → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
5857imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀 < 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
5938, 58sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀𝐾) ∧ 𝑀 = 1) → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
6059exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6160com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6228, 61sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑀 = 𝐾 → (𝑀𝐾 → (𝑀 = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6362com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑀 = 𝐾 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6463com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
6564ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6665com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀𝐾 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = 1 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6766com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
6829ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6931adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
70 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
7168, 69, 70lesub1d 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)))
723ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
73 1zzd 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℤ)
7472, 73zsubcld 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
75 nngt0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → 0 < (𝑀 − 1))
76 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
77 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7829, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
80 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8131, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
83 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℝ) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8476, 79, 82, 83syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1)))
8584ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))))
8685com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((0 < (𝑀 − 1) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1))))
8786ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (0 < (𝑀 − 1) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 − 1)))))
8887com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 < (𝑀 − 1) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
8975, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → 0 < (𝐾 − 1)))))
9089imp41 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → 0 < (𝐾 − 1))
9174, 90, 50sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
9291a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1)) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 1) ≤ (𝐾 − 1) → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9471, 93sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
9594ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9695com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))
9796ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9867, 97jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 = 1 ∨ (𝑀 − 1) ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
9927, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
10013, 99sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
101100ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))))))
102101pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≠ 0 → (𝑀𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
103102com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))))
1041033imp 1275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
105104com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ≠ 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
10614, 105sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 𝐾 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)))
107106imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
10826, 107sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
109108com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ))
110109con1d 139 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
111110com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
11229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
11331adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
114 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
115112, 113, 1143jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
1161153adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
117 ltsub1 10562 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)))
119118bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → ((𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ 𝑀 < 𝐾))
120119notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) ↔ ¬ 𝑀 < 𝐾))
121 eqlelt 10163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
12229, 31, 121syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝐾 ↔ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)))
123122biimpar 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → 𝑀 = 𝐾)
124123olcd 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀𝐾 ∧ ¬ 𝑀 < 𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
125124exp43 639 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀𝐾 → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))))
1261253imp 1275 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 < 𝐾 → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
127120, 126sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
128127com12 32 . . . . . . . 8 (¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
12925, 111, 1283jaoi 1431 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∨ ¬ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∨ ¬ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13012, 129sylbi 207 . . . . . 6 (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
131130com12 32 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ ∧ (𝑀 − 1) < (𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
13211, 131sylbid 230 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ (𝑀 − 1) ∈ (0..^(𝐾 − 1)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1338, 132sylbid 230 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝑀𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
1341, 133sylbi 207 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
135134imp 444 1 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505
This theorem is referenced by:  elfznelfzob  12614  injresinjlem  12628
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